作业帮已知两个自然数的差为8,它们的最大公约数与最小公倍数之积为80,求这两个自然数?两个数的差是30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为540，求这两个数。
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 14:53:17
已知两个自然数的差为8,它们的最大公约数与最小公倍数之积为80,求这两个自然数?两个数的差是30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为540，求这两个数。
已知两个自然数的差为8,它们的最大公约数与最小公倍数之积为80,求这两个自然数?
两个数的差是30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为540，求这两个数。
已知两个自然数的差为8,它们的最大公约数与最小公倍数之积为80,求这两个自然数?两个数的差是30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为540，求这两个数。
最大公约数与最小公倍数之积即两个数的乘积.此题应改动,否则无解.如改乘积为84.
设这两个数是x,y 则：x-y=8 xy=84
(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=x^2+y^2-168=64
x^2+y^2=232
(x+y)^2=232+168=400
x+y=20 x=14 y=6
1. (x-y)^2=x^2+y^2-2xy=x^2+y^2-168=64
x^2+y^2=232
(x+y)^2=232+168=400
x+y=20 x=14 y=6
数据有问题：
设最大公约数为d，这两数均为d的倍数，设为pd 和qd ,其中p>q且p与q互素，
则最小公倍数为pqd, 有 (p-q)d=30 (pq-1)d=540
pq-1=18(p-q) pq=18p-18q+1
(p+18)(q-18)=pq+18q-18p-324=-323=-17×19
注意到p>q,只能是...
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数据有问题：
设最大公约数为d，这两数均为d的倍数，设为pd 和qd ,其中p>q且p与q互素，
则最小公倍数为pqd, 有 (p-q)d=30 (pq-1)d=540
pq-1=18(p-q) pq=18p-18q+1
(p+18)(q-18)=pq+18q-18p-324=-323=-17×19
注意到p>q,只能是两种情况 （1）p+18=323,q-18=-1 (2)p+18=19 q-18=-17
若是p+18=19 q-18=-17，则p=q=1 与(p-q)d=30矛盾
所以p+18=323,q-18=-1 所以p=305,q=17 (p-q)d=288d>30，矛盾
它们的最小公倍数与最大公约数的差改为570，是有解的
同上讨论 的 (p-q)d=30 (pq-1)d=570
pq-1=19(p-q) （p+19)(q-19)=1-361=-1×360=-2×180=-3×120=-4×90=-5×72=-6×60=-8×45
=-9×40=-10×36=-12×30=-15×24=-18×20
注意到p-q≤30 所以 p+19-(q-19)≤68
经试验 p+19=24,q-19=-15可得一解 p=5,q=4,d=30,两数为150和120
p+19=45,q-19=-8可得一解 p=26,q=11,d=2,两数为52和22
其他不合适
收起
x-y=8 xy=84
(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=x^2+y^2-168=64
x^2+y^2=232
(x+y)^2=232+168=400
x+y=20 x=14 y=6