求微分方程y^2dx+(x^2+xy)dy=0 的通解

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 09:40:52

求微分方程y^2dx+(x^2+xy)dy=0 的通解
求微分方程y^2dx+(x^2+xy)dy=0 的通解

求微分方程y^2dx+(x^2+xy)dy=0 的通解
x/y=u
dx=ydu+udy
y^2dx+(x^2+xy)dy=0
dx+[(x/y)^2+(x/y)]dy=0
dx+(u^2+u)(dx/u-xdu/u)=0
dx+(u+1)dx-(u+1)xdu=0
(u+2)dx=(u+1)xdu
dx/x=(u+1)du/(u+2)
lnx=u-ln(u+2)+C
lnx=y/x-ln(y/x+2)+C

∵设t=y/x，则dy=tdx+xdt
∴由y²dx+(x²+xy)dy=0
==>(y/x)²dx+(1+y/x)dy=0
==>t²dx+(1+t)(tdx+xdt)=0
==>t(2t+1)dx+x(t+1)dt=0
=...

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∵设t=y/x，则dy=tdx+xdt
∴由y²dx+(x²+xy)dy=0
==>(y/x)²dx+(1+y/x)dy=0
==>t²dx+(1+t)(tdx+xdt)=0
==>t(2t+1)dx+x(t+1)dt=0
==>dx/x+[1/t-1/(2t+1)]dt=0
==>ln│x│+ln│t│-(1/2)ln│2t+1│=(1/2)ln│C│ (C是积分常数)
==>x²t²/(2t+1)=C
==>xy²/(x+2y)=C (用t=y/x代换)
==>xy²=C(x+2y)
故原方程得通解是xy²=C(x+2y) （C是积分常数）。

收起

dx\dy=x\y-x^2\y^2
为贝努力方程
这里 n=2 令z=x^(-1)
接下来就应该会了
关键是要把x看成y的函数

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