求微分方程y^2dx+(x^2-xy)dy=0 的通解

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 06:49:40

求微分方程y^2dx+(x^2-xy)dy=0 的通解
求微分方程y^2dx+(x^2-xy)dy=0 的通解

求微分方程y^2dx+(x^2-xy)dy=0 的通解
整理有
dy/dx=y^2/(xy-x^2)=(y/x)^2/[(y/x)-1]
令y/x=u,y=ux,y'=u+xu'
则原微分方程可化为
u+xu'=u^2/(u-1)
xu'=u/(u-1)
(u-1)/udu=1/xdx
两边积分
u-ln|u|=ln|x|+C
通解为
(y/x)+ln|y/x|=ln|x|+C
即(y/x)+ln|y/x^2|=C

齐次方程
令y=tx,dy=tdx+xdt带入：
t^2x^2dx+(x^2-tx^2)(tdx+xdt)
tdx+(1-t)xdt=0
dx/x=(1-1/t)dt
ln|x|=t-ln|t|+C1
ln|x|+ln|t|=t+C1
ln|y|=y/x+C1
y=Ce^(y/x)

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