求证：在直径为d的圆的内接矩形中,面积最大的是正方形,这个正方形的面积等于二分之一d²

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 16:17:49

求证：在直径为d的圆的内接矩形中,面积最大的是正方形,这个正方形的面积等于二分之一d²
求证：在直径为d的圆的内接矩形中,面积最大的是正方形,这个正方形的面积等于二分之一d²

求证：在直径为d的圆的内接矩形中,面积最大的是正方形,这个正方形的面积等于二分之一d²
设原的直径为D,内接矩形边长分别为l,r.
因为（l-r）²>=0
所以lr<=0.5(l²+r²)
因为l²+r²=D²（矩形对角线是直径,由这个
对角线和矩形两条边构成了一个直角三角形）
所以lr<=0.5D²就是说l乘以r最大是0.5D²
那么就是已知l²+r²=D²和lr=0.5D²
解得：l=r=√2/2D时,l×r（面积）取最
大,就是0.5D²

设：这个内接矩形的相邻两边分别为 x、y，则有： x^2 + y^2 = d^2。问题即是要求 xy 最大。由于 x、y 均为正数，故 x^2×y^2 最大等价于 xy 最大。
因此 xy = √（x^2×y^2）<= (x^2 + y^2 )/2 = d/2。“ <= ”中的等号仅在 x = y 时成立，故内接正方形面积面积最大，为 d/2。...

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设：这个内接矩形的相邻两边分别为 x、y，则有： x^2 + y^2 = d^2。问题即是要求 xy 最大。由于 x、y 均为正数，故 x^2×y^2 最大等价于 xy 最大。
因此 xy = √（x^2×y^2）<= (x^2 + y^2 )/2 = d/2。“ <= ”中的等号仅在 x = y 时成立，故内接正方形面积面积最大，为 d/2。

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