作业帮在三角形ABC中,BC=12,高AD=3,则三角形ABC的周长最小值为_____
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 08:00:16
在三角形ABC中,BC=12,高AD=3,则三角形ABC的周长最小值为_____
在三角形ABC中,BC=12,高AD=3,则三角形ABC的周长最小值为_____
在三角形ABC中,BC=12,高AD=3,则三角形ABC的周长最小值为_____
周长C=AB+AC+BC
=√(x²+9)+√((x-12)²+9)+12
==√(x²+3²)+√((x-12)²+3²)+12
将√(x²+3²)+√((x-12)²+3²)式
可转化为在X轴上求P（x,0）到二点
M（0,3）与N（12,3）的距离之和最小值
而P（x,0）到二点
M（0,3）与N（12,3）的距离之和最小值
为M’（0,-3）与N（12,3）的线段长度
M’N=6√5
所以周长C=AB+AC+BC≥6√5+12
如果仅为填空题的话，那么当高位于BC的中点时 ，三角形的周长最小。
为12+6倍根号5
12+6√5.
过△ABC的顶点A作BC的平行线MN，过MN作关于B的对称点E。则AB=AE。在三角形ABC中，BC固定下来了要使周长最短，使AB+AC最短，即使EA+AC最短。根据两点之间，线段最短的公理，当E、A、C三点共线时EA＋AC最短。
那么什么时候三点共线呢？先连接BE，则△BEA是轴对称图形（等腰三角形）
MN就是这个三角形的对称轴。
这里先介绍一基本图形：不知你做过这样的题...
全部展开
过△ABC的顶点A作BC的平行线MN，过MN作关于B的对称点E。则AB=AE。在三角形ABC中，BC固定下来了要使周长最短，使AB+AC最短，即使EA+AC最短。根据两点之间，线段最短的公理，当E、A、C三点共线时EA＋AC最短。
那么什么时候三点共线呢？先连接BE，则△BEA是轴对称图形（等腰三角形）
MN就是这个三角形的对称轴。
这里先介绍一基本图形：不知你做过这样的题没有，一个三角形的外角平分线恰好平行于三角形的第三边，比如本题的MN‖BC，则原三角形一定是等腰三角形。
（本结论的逆命题也成立，）
本题就利用此基本图形得到∠B=∠C的猜想。
怎么证明？
当CAE共线时，∠BAE是△ABC一外角，∴∠BAE=∠B+∠C，∵∠MAB=∠MAE
∠B=∠MAB。∴∠B=∠C
当且仅当△ABC是等腰三角形时，它的周长最小。
之后的工作就简单了，AB是△ABD的斜边，=3*根号5，AB+AC=6*根号5
min（最小值）C（周长）=12+6*根号5
当然，不必非得证什么等腰三角形。
因为BE⊥BC，BE=2AD=6，这样斜边EC可求，就是AB+AC的最小值=6*根号5
收起