求极限lim[x→0] [根号(1+ x )+根号(1-x )-2]/x^2

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 06:45:03

求极限lim[x→0] [根号(1+ x )+根号(1-x )-2]/x^2
求极限lim[x→0] [根号(1+ x )+根号(1-x )-2]/x^2

求极限lim[x→0] [根号(1+ x )+根号(1-x )-2]/x^2
方法一：L'Hospital法则
lim(x→0) [√(1+x)+√(1-x)-2]/x²
=lim(x→0) [(1/2)(1+x)^(-1/2)-(1/2)(1-x)^(-1/2)]/(2x)
=lim(x→0) [(-1/4)(1+x)^(-3/2)-(1/4)(1-x)^(-3/2)]/2
=(-1/2)/2
=-1/4
方法二：泰勒展开
利用泰勒展开式f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!](x-x0)²+···+ [f(x0)^(n)/n!]*(x-x0)^n+Rn(x)
√(1+x)=1+(1/2)x-(1/8)x²+o(x²)
√(1-x)=1-(1/2)x-(1/8)x²+o(x²)
∴√(1+x)+√(1+x)-2=1+(1/2)x-(1/8)x²+o(x²)+1-(1/2)x-(1/8)x²+o(x²)-2=(-1/4)x²+o(x²)
∴lim(x→0) [√(1+x)+√(1-x)-2]/x²
=lim(x→0) [(-1/4)x²+o(x²)]/x²
=-1/4
方法三：
lim(x→0) [√(1+x)+√(1-x)-2]/x²
= lim(x→0) [(√(1+x)-1)-(1-√(1-x))]/x²
= lim(x→0) [x/(√(1+x)+1)-x/(1+√(1-x))]/x²
= lim(x→0) [1/(√(1+x)+1)-1/(1+√(1-x))]/x
= lim(x→0) [ (√(1-x)-√(1+x)) / [(√(1+x)+1)(1+√(1-x))] ]/x
= lim(x→0) [ ((1-x)-(1+x)) / (√(1-x)+√(1+x)) / [(√(1+x)+1)(1+√(1-x))] ]/x
= lim(x→0) [ -2 / (√(1-x)+√(1+x)) / [(√(1+x)+1)(1+√(1-x))] ]
= -2 / (1+1) / [(1+1)(1+1)] ]
=-1/4

求极限 lim/x-0 (根号x+1) -1/x 求极限lim[x→0] [根号(1+ x )+根号(1-x )-2]/x^2 求极限lim(x→0)（1-根号cosx）/[x（1-cos根号x）] 求lim(x->0+) x/[根号(1-cosx)]的极限, 求极限 lim x→π/2 (sin2x)^3 lim x→0 根号(1+x^2)-1/x 求极限lim/x-0 x/根号1-x^2 - 根号1-x lim x ((根号x 平方＋1)-x )求极限求极限lim Ln(1+x) /x > .< x→0 求极限lim(x→∞)(2x/3-x)-(2/3x)求极限lim(x→5)根号(x-1)-2/x-5 求极限,lim,x趋于0,（根号（1+tanx）-根号（1-sinx））/x 求极限lim(x→0）（根号下1+tanx减去根号下1+sinx）/sin^3x 求极限lim(x→0)sinxsin(1/x);lim(x→∞)(arctanx/x) 求lim[(根号x^3)-1]/(x-1),x→1的极限 lim (1-1/x)^根号x(x→+∞)~求极限~ 求极限lim(x→0)x²/1-cosx 求极限lim(x→0) cos(1/x) 求lim(1-cos2x)/x^2极限,x→0 求极限lim(x→0)(cosx-(1/x))