由曲面x^2+y^2=a^2,y^2+z^2=a^2所围立体的体积(用二重积分)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/04 18:03:36
由曲面x^2+y^2=a^2,y^2+z^2=a^2所围立体的体积(用二重积分)

由曲面x^2+y^2=a^2,y^2+z^2=a^2所围立体的体积(用二重积分)
由曲面x^2+y^2=a^2,y^2+z^2=a^2所围立体的体积(用二重积分)

由曲面x^2+y^2=a^2,y^2+z^2=a^2所围立体的体积(用二重积分)
应把X轴方向作为曲顶柱体高的方向,高x=√(a^2-y^2),考虑对称性,8个卦限体积相同,只算一个卦限再乘以8即可,
在YOZ平面的投影D为y^2+z^2=a^2,z=√(a^2-y^2)
V=8∫[D]∫√(a^2-y^2)dydz
=8∫[0,a]dy ∫ [0,√(a^2-y^2)] √(a^2-y^2)dz
=8∫[0,a]dy [0,√(a^2-y^2)] √(a^2-y^2) z
=8∫[0,a] (a^2-y^2)]dy
=8(a^2*y-y^3/3)[0,a]
=8(a^3-a^3/3)
=16a^3/3.

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