若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为根号3,则其内切球的表面积是多少?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 11:48:49

若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为根号3,则其内切球的表面积是多少?
若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为根号3,则其内切球的表面积是多少?

若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为根号3,则其内切球的表面积是多少?
利用等体积法解此题.
设内切球的半径为r,球心为O.
已知AB=AC=AD=√3,且AB、AC、AD两两垂直,
所以三棱锥的体积V=1/3•3/2•√3=√3/2.
又BC=CD=DB=√6,
则S△BCD=3√3/2,S△ABC=S△ABD=S△ACD=1/2•3=3/2.
根据图形知：三棱锥A-BCD的体积V=三棱锥O-ABC的体积+三棱锥O-ABD的体积+
三棱锥O-ACD的体积+三棱锥O-BCD的体积(这几个小三棱锥的高都是r)
即√3/2=1/3•3/2•r+1/3•3/2•r+1/3•3/2•r+1/3•3√3/2•r
解得r=(√3-1)/2,
内切球的表面积=4πr²=(4-2√3)π.

想象一下，从锥顶看，球心在地面的投影必为三角形内心（由题意，地面为正三角形），过追顶向地面做垂线必过球心，从球心向锥的三个侧面做垂线，连接球心与锥顶，易得，球心与锥顶的距离为球的半径的根号3倍（相当于一个正方体的边长与体对角线的关系，容易想象吧），所以锥顶向底面的距离为球的半径的（1+根号3）倍，易得，锥顶向底面的距离为1（把锥补成正方体，易得），所以半径可以所出来，表面积为4*pi*r*r4*p...

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