作业帮如何推导“1方+2方+3方+……+n方=1/6n(n+1)(2n+1)”
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 18:51:37
如何推导“1方+2方+3方+……+n方=1/6n(n+1)(2n+1)”
如何推导“1方+2方+3方+……+n方=1/6n(n+1)(2n+1)”
如何推导“1方+2方+3方+……+n方=1/6n(n+1)(2n+1)”
1^2=1/6*1（2*1+1）（1+1）=1/6*6=1
1^2+2^2=1/6*（2*2+1）（2+1）=1/6*30=5
.
假设1方+2方+3方+……+N方=1/6n（2n+1)(n+1)
则
1^2+2^2+3^2+……+n^2+（n+1）^2
=1/6n（2n+1)(n+1)+(n+1)^2
=1/6(n+1)(2n^2+n+6n+6)
=1/6*(n+1)(2n+3)(n+2)
=1/6*(n+1)[2(n+1)+1][(n+1)+1]
假设成立
得证
数学归纳法……
用（n+1)^3-n^3=……累加
用数学归纳法是很简单
但传统方法一样可以证明
因为（n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将n=1,2,3,.....分别代入上式可得
2^3-1^3=3x1^2+3x1+1
3^3-2^3=3x2^2+3x2+1
......
（n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将上式累加起来可得
（n+1)^3-1^3=3(1...
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用数学归纳法是很简单
但传统方法一样可以证明
因为（n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将n=1,2,3,.....分别代入上式可得
2^3-1^3=3x1^2+3x1+1
3^3-2^3=3x2^2+3x2+1
......
（n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将上式累加起来可得
（n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+.....+n)+n
又1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)/2
所以1方+2方+3方+……+n方=1/6n(n+1)(2n+1）
收起