作业帮1方+2方+3方+……+N方=1/6n（2n+1)(n+1)推导1方+2方+3方+……+N方=1/6n（2n+1)(n+1)的推导
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 02:34:15
1方+2方+3方+……+N方=1/6n（2n+1)(n+1)推导1方+2方+3方+……+N方=1/6n（2n+1)(n+1)的推导
1方+2方+3方+……+N方=1/6n（2n+1)(n+1)推导
1方+2方+3方+……+N方=1/6n（2n+1)(n+1)的推导
1方+2方+3方+……+N方=1/6n（2n+1)(n+1)推导1方+2方+3方+……+N方=1/6n（2n+1)(n+1)的推导
1^2=1/6*1（2*1+1）（1+1）=1/6*6=1
1^2+2^2=1/6*（2*2+1）（2+1）=1/6*30=5
.
假设1方+2方+3方+……+N方=1/6n（2n+1)(n+1)
则
1^2+2^2+3^2+……+n^2+（n+1）^2
=1/6n（2n+1)(n+1)+(n+1)^2
=1/6(n+1)(2n^2+n+6n+6)
=1/6*(n+1)(2n+3)(n+2)
=1/6*(n+1)[2(n+1)+1][(n+1)+1]
假设成立
得证
利用数学归纳法
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*...
全部展开
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
收起
如果是证明 用数学归纳法是最简单的
如果要直接求出 有点难度
首先 1+2+3+4+5····n=(n^2+n)/2
猜出1^2+2^2+3^2……n^2=An^3+Bn^2+Cn
用待定系数法 确定ABC的值
然后用数学归纳法验证