设自角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长c.若a,b,c均为整数,且c=(1/3)ab-(a+b),求满足条件的三角形数.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 01:47:45

设自角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长c.若a,b,c均为整数,且c=(1/3)ab-(a+b),求满足条件的三角形数.
设自角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长c.若a,b,c均为整数,且c=(1/3)ab-(a+b),求满足条件的三角形
数.

设自角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长c.若a,b,c均为整数,且c=(1/3)ab-(a+b),求满足条件的三角形数.
由c=(1/3)ab-(a+b)得：ab=3(a+b+c)
设该三角形内接圆半径为r,则三角形面积S=½r(a+b+c),又S=½ab,
故r(a+b+c)=ab=3(a+b+c),得：r=3
对于直角三角形,有：c=a+b-2r .得：c=a+b-6
则：ab=3(a+b+c)=3[a+b+(a+b-6)]=6a+6b-18
得：a=(6b-18)/(b-6)=[(6b-36)+18]/(b-6)=6+18/(b-6)
欲使a为正整数,须取b-6=1、2、3、6、9、18,即b=7、8、9、12、15、24 .
相应得到：a=24、15、12、9、8、7 ；c=25、17、15、15、17、25 .
综上所求,满足条件的三角形有三个：(7、24、25),(8、15、17),(9、12、15).

c=(1/3)ab-(a+b) c^2=[(ab)-(a+b)]^2 ……（1）直角三角形 c^2=a^2+b^2……（2）联解方程（1）（2）得出a=(6b-18) /(b-6) a,b,c均为整数 b=9 a=12 c=15 当然还有 a,b互换。依次类推找出符合要求的b 即可！

7，24，25