作业帮已知A、B、C、D四点共圆,C、D、E、F四点共圆,A、B、E、F四点共圆求证：直线AB、CD、EF互相平行或相交于一点
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 20:05:26
已知A、B、C、D四点共圆,C、D、E、F四点共圆,A、B、E、F四点共圆求证：直线AB、CD、EF互相平行或相交于一点
已知A、B、C、D四点共圆,C、D、E、F四点共圆,A、B、E、F四点共圆
求证：直线AB、CD、EF互相平行或相交于一点
已知A、B、C、D四点共圆,C、D、E、F四点共圆,A、B、E、F四点共圆求证：直线AB、CD、EF互相平行或相交于一点
郭敦顒回答：
若A、B、C、D四点共圆,C、D、E、F四点共圆,A、B、E、F四点共圆
在A、B、C、D四点共圆中,若直线AB与CD不相交则AB∥CD,在C、D、E、F四点共圆中,若EF与CD不平行,则EF与CD相交,
连EC交AB或其延长线于K,连FD交AB或其延长线于P,则
∠EKP=∠ECD,∠FPK=∠FDC,∴ K、P、E、F四点共圆,
而K异于A,P异于B,∵AB、CD、EF它们的中点不共线（若共线则CD∥EF）,
既然K、P、E、F四点共圆,那么A、B、E、F四点不共圆,这与题设条件矛盾,
∴当AB∥CD时,EF与CD不平行是不可能的,于是EF∥CD
∴AB∥CD∥EF.
在A、B、E、F四点共圆中,AB与EF相交于P,则CD与EF不平行,在C、D、E、F四点共圆中,CD与EF也相交于P,
A、B、C、D四点共圆的圆心为O,C、D、E、F四点共圆的圆心为Q,连OQ,则
OQ⊥CD中点KB,取AB中点M,EF中点N,连MO、NQ并延长相交于R,则R是A、B、E、F四点共圆的圆心,那么
P、R、M、N四点共圆,这是在AB与EF相交于P,CD与EF也相交于P的情况下得出的结论,否则,不可能.所以,AB与EF相交于P,CD与EF也相交于P.
上述证明似乎不尽完美,容再思考.
此命题可以转换为:两两相交的三个圆,三条公共弦互相平行或相交于一点.(题目中应说明是三个不同的圆才严谨.否则命题并不在立)
证:设ABCD所在圆的方程为f(x,y)=0. (这里的f(x,y)并不表示函数,只表示一个含有的x和y表达式.)
CDEF所在圆的方程为g(x,y)=0
ABEF所在圆的方程为h(x,y)=0
两个圆的方程相减,就是公共弦的直线方程.
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此命题可以转换为:两两相交的三个圆,三条公共弦互相平行或相交于一点.(题目中应说明是三个不同的圆才严谨.否则命题并不在立)
证:设ABCD所在圆的方程为f(x,y)=0. (这里的f(x,y)并不表示函数,只表示一个含有的x和y表达式.)
CDEF所在圆的方程为g(x,y)=0
ABEF所在圆的方程为h(x,y)=0
两个圆的方程相减,就是公共弦的直线方程.
所以直线AB方程为:f(x,y)-h(x,y)=0
直线CD方程为:f(x,y)-g(x,y)=0
直线EF方程为:g(x,y)-h(x,y)=0
若AB与CD有交点P(m,n),则f(m,n)-h(m,n)=0 且 f(m,n)-g(m,n)=0
两式相减得:g(m,n)-h(m,n)=0. 故点P满足EF方程,即P在EF上.
所以:若AB与CD相交,则EF也经过交点.
所以AB\CD\EF互相平行或相交于一点.
如果你是初中生,可能对"两个圆的方程相减,就是公共弦的直线方程."这句话不太理解.
简单说明一下:
圆的特点是圆上任意一点(x,y)到圆心(a,b)的距离等于半径.
所以圆的方程表达式是:根号[(x-a)^2+(y-b)^2]=r
即:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
两个圆的方程相减,x和y的平方项消去,得到一次方程,也就是直线方程.
若A\B是两圆的交点,则同时满足两个圆的方程,因此也满足直线方程.
AB在直线上.所以两圆的方程相减,就是公共弦所在直线的方程.
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