动手实验：利用矩形纸片剪出一个正六边形纸片,利用这个正六边形制片做一个如图无盖的正六棱柱（棱柱底面为正六边形)(1)做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为多少

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 13:18:03

动手实验：利用矩形纸片剪出一个正六边形纸片,利用这个正六边形制片做一个如图无盖的正六棱柱（棱柱底面为正六边形)(1)做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为多少
动手实验：利用矩形纸片剪出一个正六边形纸片,利用这个正六边形制片做一个如图无盖的正六棱柱（棱柱底面为正六边形)
(1)做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为多少
（2）在（1）的前提下,当矩形的长为2a时,要使无盖正六棱柱侧面积最大正六棱柱的高为多少?并求此时矩形纸片利用率?（矩形纸片利用率=无盖正六棱柱表面积/矩形纸片的面积）半小时内回答者加再追加30分

(1)如图,由于正六边形内角和为(6-2)×180°=720°,则其一角的角平分线所分的两个角同为60°；

设所需矩形的长宽分别为A、B,剪出的正六边形径长为L,那么

A=2L,B=2L·sin60°=√3L；

因此,所求长宽比为A：B=(2L)：(√3L)=2√3：3.

(2)依题意并结合图形知,A=2a,B=√3a,L=a,并设所求高为h,正六棱柱底面边长为k,那么

k=2·(L-h/sin60°)·cos60°=a-2√3h/3

则无盖正六棱柱侧面积为S=6·k·h=6·(a-2√3h/3)·h

=﹣4√3(h-√3a/4)²+3√3a²/4

故①当h=√3a/4时,S取得最大值为3√3a²/4,且k=√3a/2；

②此时矩形纸片利用率：ω=(3√3a²/4+3√3k²/2)/(2a·√3a)×100%

=(3√3a²/4+9√3a²/8)/(2√3a²)×100%

=(3/4+9/8)/2×100%

=15/16×100%

=93.75%.

（注：正六边形面公式S=3√3L²/2,L为正六边形边长）

因此,所求正六棱柱的高为√3a/4,且此时矩形纸片利用率为93.75%.

路过

什么，不会

好复杂