证明:8丨2003^2003+2005^2005+2007^2007+2009^2009 请大师帮帮忙,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 03:56:58

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2003^2003+2005^2005+2007^2007+2009^2009 (mod 8)
=3^2003+(-3)^2005+(-1)^2007+1^2009 (mod 8)
=3^2003-3^2005 (mod 8)
=3^2003 (1-3^2) (mod 8)
=-8*3^2003 (mod 8)
=0 (mod 8)
因此上式能被8整除.

2003^2003+2005^2005+2007^2007+2009^2009
=(2000+3)^2003+(2008-3)^2005+(2008-1)^2007+(2008+1)^2009
=8m+3^2003+(-3)^2005+(-1)^2007+1^2009
=8m+3^2003+(-9)×3^2003-1+1
=8m+(-8)×3^2003

全部展开

2003^2003+2005^2005+2007^2007+2009^2009
=(2000+3)^2003+(2008-3)^2005+(2008-1)^2007+(2008+1)^2009
=8m+3^2003+(-3)^2005+(-1)^2007+1^2009
=8m+3^2003+(-9)×3^2003-1+1
=8m+(-8)×3^2003
=8k，
其中m是大于3^2003的下整数，k为正整数，
故8丨2003^2003+2005^2005+2007^2007+2009^2009 。

收起

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