作业帮若a、b∈R,求证：a^2+b^2≥ab+a+b-1,并求等号成立的条件.谢谢刚刚帮我解答的几个人
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 14:53:03
若a、b∈R,求证：a^2+b^2≥ab+a+b-1,并求等号成立的条件.谢谢刚刚帮我解答的几个人
若a、b∈R,求证：a^2+b^2≥ab+a+b-1,并求等号成立的条件.
谢谢刚刚帮我解答的几个人
若a、b∈R,求证：a^2+b^2≥ab+a+b-1,并求等号成立的条件.谢谢刚刚帮我解答的几个人
2(a^2+b^2)-2(ab+a+b-1)
=(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)
=(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2>=0
取等号则a-b=0,a-1=0,b-1=0
a=b=1
可以取到
所以2(a^2+b^2)-2(ab+a+b-1)>=0
2(a^2+b^2)>=2(ab+a+b-1)
a^2+b^2>=ab+a+b-1
a^5+b^5-1/2(a^3+b^3)(a^2+b^2)
=a^5+b^5-1/2(a^5+b^5+a^3 b^2+a^2 b^3)
=1/2(a^5+b^5-a^3 b^2-a^2 b^3)
=1/2[a^3(a^2-b^2)-b^3(a^2-b^2)]
=1/2(a^2-a^2)(a^3-b^3)
=1/2(a-b)(a+b)(a-b)(a^...
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a^5+b^5-1/2(a^3+b^3)(a^2+b^2)
=a^5+b^5-1/2(a^5+b^5+a^3 b^2+a^2 b^3)
=1/2(a^5+b^5-a^3 b^2-a^2 b^3)
=1/2[a^3(a^2-b^2)-b^3(a^2-b^2)]
=1/2(a^2-a^2)(a^3-b^3)
=1/2(a-b)(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)
=1/2(a-b)^2 (a+b)[(a^2+ab+1/4b^2)+3/4b^2]
=1/2(a-b)^2 (a+b)[(a+1/2b)^2+3/4b^2]
因为a,b∈R+
所以(a-b)^2≥0,[(a+1/2b)^2+3/4b^2]大于0，(a+b)≥0
所以原题得证
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