作业帮已知a,b是不相等的两个正数,求证（a+b)（a³+b³）大于（a²+b²）²已知a,b都是正数,x,y=R,且a+b=1,求证ax²+by²大于等于（ax+by）²
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 17:12:06
已知a,b是不相等的两个正数,求证（a+b)（a³+b³）大于（a²+b²）²已知a,b都是正数,x,y=R,且a+b=1,求证ax²+by²大于等于（ax+by）²
已知a,b是不相等的两个正数,求证
（a+b)（a³+b³）大于（a²+b²）²
已知a,b都是正数,x,y=R,且a+b=1,求证
ax²+by²大于等于（ax+by）²
已知a,b是不相等的两个正数,求证（a+b)（a³+b³）大于（a²+b²）²已知a,b都是正数,x,y=R,且a+b=1,求证ax²+by²大于等于（ax+by）²
高中的解法：
1.
(a+b)(a3+b3)-(a2+b2)2
=(a+b)(a+b)(a2+b2-ab)-(a2+b2)2
=(a2+b2+2ab)(a2+b2-ab)-(a2+b2)2
=(a2+b2)2+ab(a2+b2)-2a2b2-(a2+b2)2
=ab(a2+b2-2ab)
=ab(a-b)2
因为a,b为不相等的正数,所以ab>0,(a-b)2>0,所以(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2
2.
因为a+b=1,所以
（ax2+by2）-(ax+by)2
=(a+b)(ax2+by2)-(ax+by)2
=(a2x2+aby2+abx2+b2y2)-(a2x2+b2y2+2abxy)
=abx2+aby2-2abxy
=ab(x2+y2-2xy)
=ab(x-y)2
因为a,b为正数,所以ab>0,(x-y)2>=0,所以（ax2+by2）>=(ax+by)2
（a+b)（a³+b³）
=a^4+ab³+ba³+b^4
=a^4+b^4+(ab³+ba³)
>a^4+b^4+2√(ab³*ba³)
=a^4+b^4+2a²b²
=（a²+b²）²
ax²+by²...
全部展开
（a+b)（a³+b³）
=a^4+ab³+ba³+b^4
=a^4+b^4+(ab³+ba³)
>a^4+b^4+2√(ab³*ba³)
=a^4+b^4+2a²b²
=（a²+b²）²
ax²+by²-（ax+by）²
=（a-a² ）x² +（b-b² ）y² -2abxy
=abx² +aby² -2abxy
=ab（x-y）² ≥0
所以ax²+by²≥（ax+by）²
收起
柯西不等式会不会啊
当然这么简短的证明直接化简开来就可以了，没必要用柯西架炮台
a^2+b^2>=2ab（当且仅当a=b时，等号成立）知道不，不知道作差就看出来了
（a+b)（a³+b³）分别（a²+b²）²剩开，相同的放一边
最后就比ab(a^2+b^2)和2a^2b^2
a^2+b^2>=2ab一带就说明了
下面也差不多