证明:y=xsin(1/x),当x>2/π时,0

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 18:52:14
证明:y=xsin(1/x),当x>2/π时,0

证明:y=xsin(1/x),当x>2/π时,0
证明:y=xsin(1/x),当x>2/π时,0

证明:y=xsin(1/x),当x>2/π时,0
楼上的对
令t=1/x,则y=xsin(1/x)=sint/t,且0<t<π/2
求出0<sint<t即可.
显然此时t>0且sint>0,所以,y>0.
构造函数f(t)=sint-t,证明它在(0,π/2)单调递减,且f(0)=0,
得出,0<sint<t,由于t>0,所以,0<sint/t=y<1
也可用几何法,如下图.
构造扇形OAB,角度为t(以弧度计,像π/2),AC⊥OB
可知弧AB的长为t.AC=sint
显然0<t<π/2时,
弧AB>弦AB (两点之间,直线最短)
AB>AC(直角三角形斜边大于直角边)
即t=弧AB>AB>AC=sint>0
所以,0<y<1
我不知道你现在学过导数没有,所以附上这个证明.

此问题等价于y=sinx/x,当0即证0构造函数F(x)=sinx-x
求导得f~(X)=cosx-1<0
F(x)在0F(x)所以0证毕