讨论f(x)=lnx-ax(a>0)零点的个数

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 17:05:35
讨论f(x)=lnx-ax(a>0)零点的个数

讨论f(x)=lnx-ax(a>0)零点的个数
讨论f(x)=lnx-ax(a>0)零点的个数

讨论f(x)=lnx-ax(a>0)零点的个数
f(x)=lnx-ax+1, 定义域(0,+∞)
f'(x)=1/x-a=(1-ax)/x
当a≤0时,1-ax>0恒成立,f'(x)>0
∴f(x)为增函数
又当x无限趋近于0(从0的右边)时,f(x)趋近-∞,
当x趋于正无穷大时,f(x)趋于+∞
∴f(x)有且只有1个零点

当a>0时,f'(x)=-a(x-1/a)/x
f(x)在(0,1/a)上递增,在(1/a,+∞)上递减
f(x)极大值=f(1/a)=ln(1/a)-1

当f(1/a)=0时,即ln(1/a)-1=0,解得a=e
此时,f(x)只有1个零点

当f(1/a)e ,解得0