判断向量组是否线性无关设复数域上线性空间V中的向量a1,...a2线性无关.对复数k的不同值,判断向量组S={a1+ka2,...,an-1+kan,an+ka1}是否线性无关,并求S的秩

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 17:31:48

判断向量组是否线性无关设复数域上线性空间V中的向量a1,...a2线性无关.对复数k的不同值,判断向量组S={a1+ka2,...,an-1+kan,an+ka1}是否线性无关,并求S的秩
判断向量组是否线性无关
设复数域上线性空间V中的向量a1,...a2线性无关.对复数k的不同值,判断向量组S={a1+ka2,...,an-1+kan,an+ka1}是否线性无关,并求S的秩

判断向量组是否线性无关设复数域上线性空间V中的向量a1,...a2线性无关.对复数k的不同值,判断向量组S={a1+ka2,...,an-1+kan,an+ka1}是否线性无关,并求S的秩
(a1+ka2,...,an-1+kan,an+ka1)=(a1,...,an)P
P=
1 0 0 ...0 k
k 1 0 ...0 0
0 k 1 ...0 0
......
0 0 0 ...1 0
0 0 0 ...k 1
由于a1,...,an线性无关,
所以 r(S) = r(P).
因为 |P|=1+(-1)^(1+n)k^n --按第n列展开
所以,当|P|≠0,即 k^n≠(-1)^n 时,r(P)=n,
此时向量组S线性无关,其秩 r(S)=r(P)=n.
当|P|=0,即 k^n=(-1)^n 时,r(P)=n-1.
故 r(P)=n-1.
此时向量组S线性相关,其秩 r(S)=r(P)=n-1.

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