高等数学-微分题（答案中说见到“f（x）在x=0出连续切limx-0 f(x)/x=A”则立刻知f(0)=0及f`(x)=A为什么）另外为什么说条件改成“设f（x）在x=0的某邻域有定义且limx-0 f(x)/x=A”仅能推出limx-0 f(x)=0,

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 08:35:58
高等数学-微分题（答案中说见到“f（x）在x=0出连续切limx-0 f(x)/x=A”则立刻知f(0)=0及f`(x)=A为什么）另外为什么说条件改成“设f（x）在x=0的某邻域有定义且limx-0 f(x)/x=A”仅能推出limx-0 f(x)=0,

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高等数学-微分题（答案中说见到“f（x）在x=0出连续切limx-0 f(x)/x=A”则立刻知f(0)=0及f`(x)=A为什么）
另外为什么说条件改成“设f（x）在x=0的某邻域有定义且limx-0 f(x)/x=A”仅能推出limx-0 f(x)=0,麻烦哪位数学大神讲解下

高等数学-微分题（答案中说见到“f（x）在x=0出连续切limx-0 f(x)/x=A”则立刻知f(0)=0及f`(x)=A为什么）另外为什么说条件改成“设f（x）在x=0的某邻域有定义且limx-0 f(x)/x=A”仅能推出limx-0 f(x)=0,
首先f(0)存在
然后因为
limx->0 f(x)/x=A
所以当x->0时f(x)是与x为同阶无穷小量（或用反证法也易得limx->0 f(x)只能为零）
又f(x)在x=0处连续 所以0=limx->0 f(x)=f(limx->0 x)=f(0)
所以易得f'(x)=A
之于第二问 因为推证f(0)=0时用到了连续性limx->0 f(x)=f(limx->0 x)
所以若没有连续性则不能推证f(0)=0

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