作业帮若f(x)=e^x+2∫(0 1)f(x)dx 求f(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 05:48:14
若f(x)=e^x+2∫(0 1)f(x)dx 求f(x)
若f(x)=e^x+2∫(0 1)f(x)dx 求f(x)
若f(x)=e^x+2∫(0 1)f(x)dx 求f(x)
定积分是常数,所以设∫[0 1] f(x)dx=A
则
f(x)=e^x+2∫[0 1] f(x)dx
=e^x+2A
两边在区间[0,1]进行定积分得
∫[0 1] f(x)dx=∫[0 1] (e^x+2A)dx
A=∫[0 1] (e^x+2A)dx
=(e^x+2Ax)[0 1]
=e+2A-1
A=1-e
f(x)=e^x+2(1-e)
记∫(0 1)f(x)dx =C，则f(x)=e^x+2C，从而C=∫(0 1)f(x)dx =∫(0 1)[e^x+2C]dx =e^x(0 1)+2C=e-1+2C，
得C=1-e，因此f(x)=e^x+2-2e。
说明：∫(0 1)f(x)dx 是一个定积分，结果是一个数值，所以可以先记为C。
祝你不断进步！
对原式求关于x的导数，
f'(x)=e^x + [2∫(0 1)f(x)dx]'
根据定积分定义，可知：
[2∫(0 1)f(x)dx]'=0
因此：
f'(x)=e^x
再对上式求不定积分，得：
f(x)=e^x+C
则：
2∫(0 1)f(x)dx
=2∫(0 1)[e^x+C]dx
=2e^x|...
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对原式求关于x的导数，
f'(x)=e^x + [2∫(0 1)f(x)dx]'
根据定积分定义，可知：
[2∫(0 1)f(x)dx]'=0
因此：
f'(x)=e^x
再对上式求不定积分，得：
f(x)=e^x+C
则：
2∫(0 1)f(x)dx
=2∫(0 1)[e^x+C]dx
=2e^x|(0 1)+Cx|(0 1)
=2e-2+2C
因此：
C=2e-2+2C
C=2(1-e)
于是：
f(x)=e^x+2(1-e)
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