作业帮高等数学 极限求解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 01:17:43
高等数学 极限求解
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0/0型,可考虑用洛必达法则,对于分子分母同时对x求导,此时观察分子中存在幂指函数,考虑用取对数法求导.得对于(e)'=0,幂指函数[(1+x)^(1/x)]'用取对数法求导,假设y=(1+x)^(1/x),
则lny=(1/x)ln(1+x)
y'/y=(-1/x^2)ln(1+x)+1/[x(1+x)]
y'=[(1+x)^(1/x)][(-1/x^2)ln(1+x)+1/[x(1+x)]]
分子的导数就等于1
所以该极限值等于lim y'=-e
先计算一个导数：设y=(1+x)^(1/x)；则有lny=(1/x)ln(1+x)；
y'/y=-(1/x²)lnx+1/[x(1+x)]；
故y'=y[-(1/x²)ln(1+x)+1/[x(1+x)]=[(1+x)^(1/x)][-(1/x²)ln(1+x)+1/[x(1+x)].
x→0lim{[(...
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先计算一个导数：设y=(1+x)^(1/x)；则有lny=(1/x)ln(1+x)；
y'/y=-(1/x²)lnx+1/[x(1+x)]；
故y'=y[-(1/x²)ln(1+x)+1/[x(1+x)]=[(1+x)^(1/x)][-(1/x²)ln(1+x)+1/[x(1+x)].
x→0lim{[(1+x)^(1/x)-e]/x}(【0/0型，用洛必达法则】
= x→0lim[(1+x)^(1/x)]'=x→0lim{[(1+x)^(1/x)][-(1/x²)ln(1+x)+1/[x(1+x)]}
=x→0lim{[(1+x)^(1/x)](-1/x)[ln(1+x)^(1/x)-1/(1+x)]=∞
【其中，x→0lim(1+x)^(1/x)=e；x→0lim1/(1+x)]=1；x→0lim[n(1+x)^(1/x)]=1;
x→0lim(-1/x)=∞】
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