微分方程y''-y=e^x满足条件y(0)=0,y'(0)=0的特解为

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 13:47:53
微分方程y''-y=e^x满足条件y(0)=0,y'(0)=0的特解为

微分方程y''-y=e^x满足条件y(0)=0,y'(0)=0的特解为
微分方程y''-y=e^x满足条件y(0)=0,y'(0)=0的特解为

微分方程y''-y=e^x满足条件y(0)=0,y'(0)=0的特解为
齐次特征方程
r^2-1=0
r=±1
所以通解为y=C1e^x+C2e^(-x)
由于等号右边饱含在通解中,所以设特解为y=axe^x
y'=a(1+x)e^x
y''=a(2+x)e^x
代入原方程得
a(2+x)e^x-axe^x=e^x
解得
a=1/2
因此非齐次特解为y=1/2xe^x
所以非齐次通解为
y=C1e^x+C2e^(-x)+1/2xe^x
y(0)=0代入得
0=C1+C2 (1)
y'=C1e^x-C2e^(-x)+1/2(1+x)e^x
y'(0)=0代入得
0=C1-C2+1/2 (2)
(1)-(2)得
C2=1/4
C1=-1/4
所以条件给定的特解是
y=-1/4e^x+1/4e^(-x)+1/2xe^x