利用函数单调性证明e^x>1+x,x≠0,也可以用图像直观证明

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 17:35:21
利用函数单调性证明e^x>1+x,x≠0,也可以用图像直观证明

利用函数单调性证明e^x>1+x,x≠0,也可以用图像直观证明
利用函数单调性证明e^x>1+x,x≠0,也可以用图像直观证明

利用函数单调性证明e^x>1+x,x≠0,也可以用图像直观证明
f(x)=e^x-1-x
f'(x)=e^x-1
x>0,e^x>e^0=1,f'(x)>0单调递增
f(0)=1
x1>x2时,f(x1)-f(x2)>0
x2=0 f(x1)>0
x

移过来求导
f(x)=e^x-x-1
f'(x)=e^X-1 x大于零时为正 小于零时为负 等于零时正好为零
原函数 在x=0出取到最小值0
则当x不等于零时 f(x)大于零
不等式成立

记f(x)=e^x-1-x,
f'(x)=e^x-1,算出极值点x=0;
x<0时f'(x)<0,函数单调递减;
x>0时f'(x)>0函数单调递增;
所以x=0是f(x)极小值点,在x=0邻域内恒有f(x)>f(0)=e^0-1-0=0,即e^x-1-x>0

dfdfdf

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