x、y、z均为整数,若11能整除(7x+2y-5z)试说明:11也能整除(3x-7y+12z)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/09 13:41:46
x、y、z均为整数,若11能整除(7x+2y-5z)试说明:11也能整除(3x-7y+12z)

x、y、z均为整数,若11能整除(7x+2y-5z)试说明:11也能整除(3x-7y+12z)
x、y、z均为整数,若11能整除(7x+2y-5z)试说明:11也能整除(3x-7y+12z)

x、y、z均为整数,若11能整除(7x+2y-5z)试说明:11也能整除(3x-7y+12z)
(7x+2y-5z)=11t,
(3x-7y+12z)=u,
将第一式乘以3,第二式乘以7,
得21x+6y-15z=33t,
21x-49y+84z=7u,
在将第一式减第二式得55y-99z=33t-7u;因为x,y,z都是整数,所以左边肯定是11的倍数.
左边能7x+2y-5z被11整除,两式相减55y-99z也能被11整除,那被减的数3x-7y+12z肯定也是能被11整除的.

(7x+2y-5z)*2-(3x-7y+12z)=11x+11y-22z
即(7x+2y-5z)*2-(11x+11y-22z)=3x-7y+12z
等式左边11能整除
右边当然也可以
可以用3x-7y+12z减去7x+2y-5z。
如(3x-7y+12z)-(7x+2y-5z)-(7x+2y-5z)-......
减到满意为止(可以提出公因子11为止)。

(3x-7y+12z)=2*(7x+-2y-5z)+(-11x-11y+22z)被11整除

7x+2y-5z能被11整除,则
3(7x+2y-5z)=21x+6y-15z也能被11整除
那么21x+6y-15z+(-55y+99z)=21x-49y+84z=7(3x-7y+12z)也能被11整除
由于7不能被11整除,11是质数,则3x-7y+12z能被11整除

11能整除(11x-44y+77z)
又因为11能整除(7x+2y-5z)
上面2式相加
则11能整除 (18x-42y+72z)=6(3x-7y+12z)
则11也能整除(3x-7y+12z)