作业帮在正方形ABCD中,点E为正方形ABCD的边BC上一点,连接AE,过点D作DG⊥AE,垂足为G,延长DG交AB于点F.求证BF=CE
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 06:59:18
在正方形ABCD中,点E为正方形ABCD的边BC上一点,连接AE,过点D作DG⊥AE,垂足为G,延长DG交AB于点F.求证BF=CE
在正方形ABCD中,点E为正方形ABCD的边BC上一点,连接AE,过点D作DG⊥AE,垂足为G,延长DG交AB于点F.求证BF=CE
在正方形ABCD中,点E为正方形ABCD的边BC上一点,连接AE,过点D作DG⊥AE,垂足为G,延长DG交AB于点F.求证BF=CE
思路：要证BF=CE,只需证明AF=BE.
做BH⊥AE与H.
角相等,长边相等,所以两个直角三角形ADG全等于ABH.
所以BH=AG,所以三角形AFG全等于BHE,所以AF=BE,
得证.
证明：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，
∴CG⊥BF，
∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90°，
∠CBG+∠BCG=90°，∠BAH+∠ABH=90°，
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证明：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，
∴CG⊥BF，
∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90°，
∠CBG+∠BCG=90°，∠BAH+∠ABH=90°，
∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG，
AB=BC，
∴△ABH≌△BCG，
∴CG=BH；
（2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90°，
∴△CFG∽△BFC，
∴FCBF=GFFC，
即FC2=BF•GF；
（3）由（2）可知，BC2=BG•BF，
∵AB=BC，
∴AB2=BG•BF，
∴FC2BC2=FG•BFBG•BF=FGBG，
即FC2AB2=GFGB．
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