已知P,Q分别是圆x2+(y-2)2=1与双曲线x2-y2=1上的动点,求PQ的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/12 06:13:44
已知P,Q分别是圆x2+(y-2)2=1与双曲线x2-y2=1上的动点,求PQ的最小值

已知P,Q分别是圆x2+(y-2)2=1与双曲线x2-y2=1上的动点,求PQ的最小值
已知P,Q分别是圆x2+(y-2)2=1与双曲线x2-y2=1上的动点,求PQ的最小值

已知P,Q分别是圆x2+(y-2)2=1与双曲线x2-y2=1上的动点,求PQ的最小值
设圆心是 A.
首先,明确一点,|PQ|要想达到最小值,P 一定在 AQ 的连线上,因为,如果 P 不在这条连线上,假设在 P' 点,那么 AQ = PA + PQ < P'A + P'Q,
由于 PA = P'A ,PQ < P'Q.
以上说明了,只需求 AQ 的最小值,AQ - 半径 ,就是|PQ|的最小值了.
下面求 AQ 的最小值.
A = (0,2) ,
AQ^2 = x^2 + (y-2)^2
x,y 满足x^2-y^2=1 ,x^2 = y^2 + 1
AQ^2 = y^2 + 1 + y^2 - 4y + 4 = 2y^2 - 4y + 5 =
2(y^2 - 2y + 1) + 3 =
2(y-2)^2 + 3 >= 3
AQ >= 根3
PQ >= 根3 - 1

转化为双曲线到圆心的距离+圆的半径就行了

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