作业帮已知函数f(x)=X/1+lxl,设f1(x)=f(x),fn+1(x)=f【fn(x)】,(n∈N*)（1）写出f2（x)和f3(x)的解析式,并猜想数列｛fn(x)}的通项公式（2)判断并证明函数y=fn(x)(n∈N*)的单调性（3）对于no∈N*,若函数y=fno(x)的图像
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 08:24:59
已知函数f(x)=X/1+lxl,设f1(x)=f(x),fn+1(x)=f【fn(x)】,(n∈N*)（1）写出f2（x)和f3(x)的解析式,并猜想数列｛fn(x)}的通项公式（2)判断并证明函数y=fn(x)(n∈N*)的单调性（3）对于no∈N*,若函数y=fno(x)的图像
已知函数f(x)=X/1+lxl,设f1(x)=f(x),fn+1(x)=f【fn(x)】,(n∈N*)
（1）写出f2（x)和f3(x)的解析式,并猜想数列｛fn(x)}的通项公式
（2)判断并证明函数y=fn(x)(n∈N*)的单调性
（3）对于no∈N*,若函数y=fno(x)的图像与直线y=k有交点,求实数k的取值范围
已知函数f(x)=X/1+lxl,设f1(x)=f(x),fn+1(x)=f【fn(x)】,(n∈N*)（1）写出f2（x)和f3(x)的解析式,并猜想数列｛fn(x)}的通项公式（2)判断并证明函数y=fn(x)(n∈N*)的单调性（3）对于no∈N*,若函数y=fno(x)的图像
(1) f2(x)=f[f1(x)]=f1(x)/[1+|f1(x)|]=[x/(1+|x|)]/[1+|x/(1+|x|)|]=[x/(1+|x|)]/[1+|x|/(1+|x|)]=x/(1+2|x|)
f3(x)=f[f2(x)]=f2(x)/[1+|f2(x)|]=[x/(1+2|x|)]/[1+|x/(1+2|x|)|]=[x/(1+2|x|)]/[1+|x|/(1+2|x|)]=x/(1+3|x|)
依此猜想 fn(x)=x/(1+n|x|),可用数学归纳法验证（略）
(2)当x≥0时,fn(x)=x/(1+nx),f'n(x)=(1+nx-nx)/(1+nx)²=1/(1+nx)²>0,fn(x)在[0,+∞)上是增函数
又易知fn(x)为奇函数,其图像关于原点对称,所以在(-∞,0]上也是增函数,由于fn(x)在x=0处有定义（连续）,从而fn(x)在R上是增函数.
(3) |fn(x)|=|x|/(1+n|x|)=1/(1/|x| +n)