微积分的题目,特别是和函数的求法还有二重积分化为极坐标的方法

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 18:54:03

微积分的题目,特别是和函数的求法还有二重积分化为极坐标的方法
微积分的题目,特别是和函数的求法还有二重积分化为极坐标的方法

　　工作量太大,只做关键部分：

1.和函数求法,分两部分求,(1)s1(x)=Σ[1,+∞]x^n, (2)s2(x)=2xΣ[1,+∞]nx^(n-1)

　　显然：s1(x)=x/(1-x) x∈(-1,1)

　　再求s2(x) 考虑 Σ[1,+∞]x^n=x/(1-x)

　　逐项微分得：Σ[1,+∞]nx^(n-1)=[x/(1-x)]'=(1-x+x)/(1-x)^2=1/(1-x)^2 x∈(-1,1)

　　∴s2(x)=2x/(1-x)^2 x∈(-1,1)

　　从而得：

　　（1）收敛域：（-1,1）

　　（2）和函数：S(x)=x/(1-x) +2x/=(3x-x^2)/(1-x)^2

　　（3）数项级数实际上是函数项级数当x=1/3时的特例,所以收敛于：(3*1/3-1/9)/(1-1/3)^2=2

2.二重积分问题,

　　先看积分区域：D：x^2+(y-1)^2=1 x^2+(y-2)^2=2^2 既然是直线,另两个应是：y=x y=√3x

　　画图：

　　选用极坐标：原式=∫[π/4,π/3]dθ∫[2cosθ,4cosθ]ρ^3dρ

　　=1/4∫[π/4,π/3]ρ^4[2cosθ,4cosθ]dθ

　　=60∫[π/4,π/3](cosθ)^4dθ

　　=60[7/64*√3+π/32-1/4]

　　=105/16*√3+15π/8-15

只做关键部分已经花了大量时间,实在不易,万望采纳!

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