作业帮∫(0~π) x根号(cos^2x-cos^4x) dx 怎么算 我算的出来是 1/2sin2x 没对呢
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 04:19:38
∫(0~π) x根号(cos^2x-cos^4x) dx 怎么算 我算的出来是 1/2sin2x 没对呢
∫(0~π) x根号(cos^2x-cos^4x) dx 怎么算
我算的出来是 1/2sin2x 没对呢
∫(0~π) x根号(cos^2x-cos^4x) dx 怎么算 我算的出来是 1/2sin2x 没对呢
∫(0~π) 根号(cos^2x-cos^4x) dx
=2∫(0~π/2) 根号(cos^2x(1-cos^2x)) dx
=2∫(0~π/2) cosxsinx dx
=2∫(0~π/2) sinx dsinx
=(sinx)²|(0~π/2)
=1
设 t=π-x。dt=-dx,x=0,t=π;x=π,t=0,换元法：
I=∫<0~π> x √(cos²x-cos^4x) dx =∫<π~0> (π-t) √(cos²(π-t)-cos^4(π-t)) (-dt)
=π∫<0~π> √(cos²(π-t)-cos^4(π-t)) dt - ∫<0~π> t√(cos²(π-t)-co...
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设 t=π-x。dt=-dx,x=0,t=π;x=π,t=0,换元法：
I=∫<0~π> x √(cos²x-cos^4x) dx =∫<π~0> (π-t) √(cos²(π-t)-cos^4(π-t)) (-dt)
=π∫<0~π> √(cos²(π-t)-cos^4(π-t)) dt - ∫<0~π> t√(cos²(π-t)-cos^4(π-t)) dt
=π∫<0~π> √(cos²t-cos^4 t) dt - ∫<0~π> t√(cos²t-cos^4 t) dt
=π∫<0~π> √(cos²t-cos^4 t) dt - I
2I=π∫<0~π> √(cos²t-cos^4 t) dt
I=π/2 ∫<0~π> √(cos²t-cos^4 t) dt
=π/2 ∫<0~π> |cost|√(1- cos² t) dt
=π/2 ∫<0~π> |cost| sint dt
=- π/2 ∫<0~π> |cost| dcost
=- π/2 [∫<0~π/2> cost dcost - ∫<π/2~π> cost dcost ]
=- π/2 [ 1/2 cos²t|<0~π/2> - 1/2 cos²t|<π/2~π> ]
=- π/4 [0-1- 1+0]=π/2.
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