高中数学!急!不等式4^x-2^x+2>0的解集为

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 19:10:44

高中数学!急!不等式4^x-2^x+2>0的解集为
高中数学!急!不等式4^x-2^x+2>0的解集为

高中数学!急!不等式4^x-2^x+2>0的解集为
解法1：
设2^x=y
代入所给不等式,有：
y^2-y+2＞0
设：f(y)=y^2-y+2
f'(y)=2y-1
令f'(y)=0,即：2y-1=0,解得：y=1/2
f(1/2)=(1/2)^2-(1/2)+2=7/4＞0
另：△=1-4×1×2=-7＜0
可见,f(y)与x轴没有交点,位于x轴的上方,
因此,恒有f(y)＞0.即：恒有4^x-2^x+2＞0
所以,所求解集是x∈(-∞,∞)
解法2：
设2^x=y
代入所给不等式,有：
y^2-y+2＞0
y^2-2×(1/2)×y+(1/2)^2+7/4＞0
(y-1/2)^2+7/4＞0
可见,不管y为何值,不等式恒成立,即：y∈(-∞,∞)
而：y=2^x
因此：x∈(-∞,∞)

令a=2^x
则a>0
a²-a+2>0
恒成立
应该是a²-a-2>0
(a-2)(a+1)>0
a+1>0
所以a-2>0
2^x>2
x>1

令2^x=t，t>0，则4^x=t^2。
则原不等式为t^2-t+2>0，t>0。
又关于t的不等式大于0恒成立，所以t>0。
根据指数函数图像可知，t>0，则x∈R。
所以x∈(-∞，∞)

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