不等式证明的一道题已知a≥-1/2,b≥-1/2且a+b=1,求证√(2a+1)+√(2b+1)≤2√2√是平方根

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 14:58:47
不等式证明的一道题已知a≥-1/2,b≥-1/2且a+b=1,求证√(2a+1)+√(2b+1)≤2√2√是平方根

不等式证明的一道题已知a≥-1/2,b≥-1/2且a+b=1,求证√(2a+1)+√(2b+1)≤2√2√是平方根
不等式证明的一道题
已知a≥-1/2,b≥-1/2且a+b=1,求证√(2a+1)+√(2b+1)≤2√2
√是平方根

不等式证明的一道题已知a≥-1/2,b≥-1/2且a+b=1,求证√(2a+1)+√(2b+1)≤2√2√是平方根
不等式两边平方,则有
(√(2a+1)+√(2b+1))^2
=2a+1+2b+1+2√((2a+1)*(2b+1))
=4+2√((2a+1)*(2b+1))≤8
只须证明√((2a+1)*(2b+1))≤2 成立
只须证明(2a+1)*(2b+1)≤4 成立
(2a+1)*(2b+1)=4ab+2a+2b+1=4ab+3≤4
只须证明a*b≤1/4
a+b=1
a和b不可能同时为负值
当a和b中有一个负值时,必有一为正值,该不等式成立
当a和b同时为正值时
1=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab>=2ab+2ab=4ab
则有a*b≤1/4成立
得证


这个数学符号很抽象。。。。。。。

令 a+1/2=c,b+1/2=d,则c+d=2 且c>=0,d>=0
所证不等式化为√2c+√2d≤2√2 ,两边同除以√2只需证 √c+√d<=2.
两边平方即c+d+2√cd<=4,因此只需证2√cd<=2.利用c>=0,d>=0 以及c+d=2
由平均值不等式即知2√cd<=c+d=2,所以原不等式成立。

令原式=A,则A^2=2a+1+2b+1+2*((2a+1)*(2b+1))^(1/2)
令A^2=2a+1+2b+1+2B=4+2B

B^2=(2a+1)*(2b+1)=4ab+2(a+b)+1=4ab+3

a=1-b,ab=-b^2+b=-...

全部展开

令原式=A,则A^2=2a+1+2b+1+2*((2a+1)*(2b+1))^(1/2)
令A^2=2a+1+2b+1+2B=4+2B

B^2=(2a+1)*(2b+1)=4ab+2(a+b)+1=4ab+3

a=1-b,ab=-b^2+b=-(b-1/2)^2+1/4
ab=<1/4
B^2=<4
B=<2
A^2=<8
A=<2^(3/2)
还有另一种更简单的方法 闵可夫斯基不等式
(a^2+b^2)^(1/2)+(c^2+d^2)^(1/2)=<((a+c)^2+(b+d)^2)^(1/2);
所以 (2a+1)^(1/2)+(2b+1)^(1/2)=<(((2a)^(1/2)+(2b)^(1/2))^2+(1+1)^2)^(1/2)=((2(a^1/2+b^1/2)^2+4))^(1/2)<=(2(a+b+(ab)^1/2)+4)^(1/2)<=(2+2+4)^1/2=2^(3/2)

收起

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