作业帮急用,好的快的再追50分.急用如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的动点,满足∠EAF＝45°． （1）求证：BE＋DF＝EF； ( 2 ) 若正方形边长为6cm,DF为2cm,请利用(1)中的结论,求EF的长.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 09:51:07
急用,好的快的再追50分.急用如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的动点,满足∠EAF＝45°． （1）求证：BE＋DF＝EF； ( 2 ) 若正方形边长为6cm,DF为2cm,请利用(1)中的结论,求EF的长.
急用,好的快的再追50分.急用
如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的动点,满足∠EAF＝45°．
（1）求证：BE＋DF＝EF；
( 2 ) 若正方形边长为6cm,DF为2cm,请利用(1)中的结论,求EF的长.
急用,好的快的再追50分.急用如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的动点,满足∠EAF＝45°． （1）求证：BE＋DF＝EF； ( 2 ) 若正方形边长为6cm,DF为2cm,请利用(1)中的结论,求EF的长.
（1）
将△ADF沿顶点A顺时针旋转90度,得到一个新△AD’F‘ ,AD’ 与AB重合,
∵ ∠B、∠D都是直角
∴ F'BE在一条直线上
∵ AF'=AF AE=AE ∠EAF' = ∠BAE+∠DAF = 90-∠EAF = 90-45 = 45 = ∠EAF
∴ △EAF' ≌△EAF
EF=EF'=BE+BF'=BE+DF
( 2 )
FC = DC-DF = 6-2 = 4
EC = BC-BE = BC-(EF-DF) = 6-(EF-2) = 8-EF
根据勾股定理
EF^2 = 4^2 + (8-EF)^2
EF = 5cm
(1)延长EB到G，使BG=DF。然后容易证明三角形ABG与三角形ADF全等。进而容易证明三角形AEG与三角形AEF全等。从而得证。
(2)设EF长x cm，则BE长(x-2)cm。EC长(8-x)cm，CF长4cm。用勾股定理列出(8-x)^2+4^2=x^2，解得EF长5cm。
(1)证明：将△ADF旋转至△ABF'.（如图） ∵AB=AD(正方形四边相等）∠ABC=∠ADF=∠ABF'=90度 ∴∠ABC+∠ABF'=90+90=180度 ∴F'B与BE在同一条直线上,且F'B=DF ∴F'E=F'B+BE=DF+BE ∵AF'=AF ∠F'AB=∠FAD (△ADF≌△ABF') ∠F'AE=∠F'AB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=90-45=45=∠EAF AE为△AF'E与△AEF的公共边。 ∴△AF'E≌△AEF ∴EF=F'E=DF+BE (2)在Rt△FCE中，EF为斜边。所以EF^2=FC^2+EC^2(勾股定理） EF^2=(DC-DF)^2+(BC-BE)^2=(6-2)^2+(6-(EF-2))^2=16+(8-EF)^2 解得：EF=5