三角形面积求法的原理高手请问为什么可以用此公式求三角形面积(边长a,b,c;面积s)：p=(a+b+c)/2;s=开方[p(p-a)(p-b)(p-c)]原理啊,我要原理啊

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 18:26:58

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三角形面积求法的原理
高手请问为什么可以用此公式求三角形面积(边长a,b,c;面积s)：
p=(a+b+c)/2;s=开方[p(p-a)(p-b)(p-c)]
原理啊,我要原理啊

三角形面积求法的原理高手请问为什么可以用此公式求三角形面积(边长a,b,c;面积s)：p=(a+b+c)/2;s=开方[p(p-a)(p-b)(p-c)]原理啊,我要原理啊
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设s=(a+b+c)/2
则s-a=(-a+b+c)/2,s-b=(a-b+c)/2,s-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]
所以,三角型ABC面积S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]
证明完毕

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