若f(x)的定义域关于原点对称,则F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,F(x)=f(x) -f(-x)为奇函数 怎么理解
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/04 06:46:52
若f(x)的定义域关于原点对称,则F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,F(x)=f(x) -f(-x)为奇函数 怎么理解
若f(x)的定义域关于原点对称,则F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,F(x)=f(x) -f(-x)为奇函数 怎么理解
若f(x)的定义域关于原点对称,则F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,F(x)=f(x) -f(-x)为奇函数 怎么理解
用定义去验证.
1.令 F(x)=f(x)+f(-x),则 F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),所以 F(x)是偶函数;
2.令 G(x)=f(x)-f(-x),则 G(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-G(x),所以 G(x)是奇函数.
F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,因为F(-x)=f(x)+f(-x)=F(x)
F(x)=f(x) -f(-x)为奇函数,因为F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x),且定义域对称
如果F(-x)=F(x),则第一个F(x)就是偶函数, F(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=f(-x)+f(x)=F(x) 所以第一个F(x)就是偶函数; 第二个F(x) F(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-F(X) 所以F(x)是奇函数; 全部展开 如果F(-x)=F(x),则第一个F(x)就是偶函数, F(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=f(-x)+f(x)=F(x) 所以第一个F(x)就是偶函数; 第二个F(x) F(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-F(X) 所以F(x)是奇函数; 另外顺便说一下任何一个函数f(x)只要定义域关于原点对称它都能写成一个偶函数与奇函数的和! f(x)见图片: 收起