作业帮已知函数f(x)＝3分之1的ax^3+bx^2+x+3,其中a≠0.(1)当a,b满足什么条件时,函数f(x)存在极值.(2)若a＝1,函数f(x)在区间(0,1］上增加的,求实数b的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:16:24
已知函数f(x)＝3分之1的ax^3+bx^2+x+3,其中a≠0.(1)当a,b满足什么条件时,函数f(x)存在极值.(2)若a＝1,函数f(x)在区间(0,1］上增加的,求实数b的取值范围
已知函数f(x)＝3分之1的ax^3+bx^2+x+3,其中a≠0.
(1)当a,b满足什么条件时,函数f(x)存在极值.
(2)若a＝1,函数f(x)在区间(0,1］上增加的,求实数b的取值范围
已知函数f(x)＝3分之1的ax^3+bx^2+x+3,其中a≠0.(1)当a,b满足什么条件时,函数f(x)存在极值.(2)若a＝1,函数f(x)在区间(0,1］上增加的,求实数b的取值范围
极值存在于部分驻点或不可导点.f(x)无不可导点.f'(x)=ax^2+2bx,f''(x)=2ax+2b.
由f'(x)=0得x=0或ax+2b=0,显然x=0不极值点（极值点两侧f''(x)异号）.
所以ax+2b=0时,f(x)在x=-2b/a取极值.
f(x)=1/3 x^3+2bx+3,f'(x)=x^2+2bx
若在(0,1]f(x)单调递增,则f'(x)>0,即x^2+2bx>0 ,所以可以得到b> -x/2.
令g(x)= -x/2,x在(0,1]上,则g(x)在[-1/2,0）.
而b>g(x),所以b>=0
求导f(x)=ax^2+2bx+1 这4b^2-4a>0 b^2>a
（1）证明
∵PH是四棱锥P-ABCD的高．
∴AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．
∴AC⊥平面PBD．
故平面PAC⊥平面PBD
（2）∵ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=√6
∴HA=HB=√3
∵∠APB=∠ADB=60°
∴PA=PB=√6
HD=HC=1．
...
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（1）证明
∵PH是四棱锥P-ABCD的高．
∴AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．
∴AC⊥平面PBD．
故平面PAC⊥平面PBD
（2）∵ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=√6
∴HA=HB=√3
∵∠APB=∠ADB=60°
∴PA=PB=√6
HD=HC=1．
可得PH=√3
等腰梯形ABCD的面积为S=1/2*AC*BD=2+√3
所以四棱锥P-ABCD的体积为
V=1/3*(2+√3)*√3
=2√3/3+1
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f′（x）=ax^2+2bx+1，令f′（x）=0，得x^2a+2bx+1=0，
有极了b^2-4a＞0，即b^2＞a
当a，b满足b^2＞a时，f（x）取得极值
2)f（x）在区间（0，1]上单调递增，需使f′（x）=ax^2+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立
b≥-(ax+1)/2在（0，1]上恒成立
b≥-(ax+1)/2的最大值
讨论a>1...
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f′（x）=ax^2+2bx+1，令f′（x）=0，得x^2a+2bx+1=0，
有极了b^2-4a＞0，即b^2＞a
当a，b满足b^2＞a时，f（x）取得极值
2)f（x）在区间（0，1]上单调递增，需使f′（x）=ax^2+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立
b≥-(ax+1)/2在（0，1]上恒成立
b≥-(ax+1)/2的最大值
讨论a>1和0
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