作业帮sina+sinb=二分之根号二,求cosa+cosb的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 17:03:12
sina+sinb=二分之根号二,求cosa+cosb的最小值
sina+sinb=二分之根号二,求cosa+cosb的最小值
sina+sinb=二分之根号二,求cosa+cosb的最小值
sina+sinb=二分之根号二
两边平方sin^2a+sin^2b+2sinasinb=1/2
设s=cosa+cosb
两边平方得s^2=cos^2a+cos^2b+2cosacosb
两式相加.
1/2+s^2=2+2sinasinb+2cosacosb
1/2+s^2=2+2cos(a-b)
s^2=2+2cos(a-b)-1/2
s^2=2cos(a-b)+3/2
当当cos(a-b)=1时,s^2最大.
s^2=2+3/2=7/2
所以s最小＝-√14/2
cosa+cosb最小值为-√14/2
设cosA+cos=k ......<1>
sinA+sinB=√2/2.....<2>
于是<1>^2+ <2>^2
(cosA+cos)^2+(sinA+sinB)^2=1/2+k^2
2+2(cosAcosB+sinAsinB)=1/2+k^2
2+2cos(A-B)=1/2+k^2
cos(A-B)=(-3/2+k^2)/2
全部展开
设cosA+cos=k ......<1>
sinA+sinB=√2/2.....<2>
于是<1>^2+ <2>^2
(cosA+cos)^2+(sinA+sinB)^2=1/2+k^2
2+2(cosAcosB+sinAsinB)=1/2+k^2
2+2cos(A-B)=1/2+k^2
cos(A-B)=(-3/2+k^2)/2
因为 -1<=cos(A-B)<=1
所以 -1<=(-3/2+k^2)/2<=1
即有 k(-[-√14/2,√14/2]
所以cosa+cosb的最小值为-√14/2
不懂发消息问我
收起