已知实数M,N满足M^2+N^2=B,其中X^2+Y^2=B,其中A,B为常数,求MX+NY的最小值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 14:02:36

已知实数M,N满足M^2+N^2=B,其中X^2+Y^2=B,其中A,B为常数,求MX+NY的最小值
已知实数M,N满足M^2+N^2=B,其中X^2+Y^2=B,其中A,B为常数,求MX+NY的最小值

已知实数M,N满足M^2+N^2=B,其中X^2+Y^2=B,其中A,B为常数,求MX+NY的最小值
用三角函数的方法来解答,根据题意,可设
m=√asinA,n=√acosA
x=√bsinB,y=√bcosB
所以:
mx+ny=√(ab)sinAsinB+√(ab)cosAcosB=√(ab)cos(A-B)
因此mx+ny=的最小值是-√(ab)
刚才做错了做了个最大值.

题目有问题吧？

M^2+N^2=A,其中X^2+Y^2=B
变换 ( M/√A)²+(N/√A)²=1
( X/√B)²+(Y/√B)²=1
令 M/√A=sina N/√A=cosa
X/√B=sinb Y/√B=cosb
所以 MX+NY=√（AB）cos（a-b）
因为cos（a-b）min=-1
所以MX+NY的最小值=-√（AB）

你的A哪里去了呢？但是此题思路在于要出现MX和NY，那就需要配方
比如把两式相加就出现M^2+N^2+X^2+Y^2=，配方（x+m)^2+(y+n)^2-2mx-2ny=2B或者(A+B)
然后由（x+m)^2+(y+n)^2大于等于O，就出现一个不等式，很简单的解出来就好了

柯西不等式
(M^2+N^2)*(X^2+Y^2)>=(MX+NY)^2
得MX+NY最小值为(AB)的负平分根

设向量p=（m，n），向量q=（x，y）
|p|=√（m^2+n^2）=√a，|q|=√（x^2+y^2）=√b
mx+ny=向量p*向量q≤|p||q|=√（ab），当且仅当p，q同向时取等号

m^2+n^2=a 吧

两式相加，得
m^+n^+x^+y^=a+b
因为 m^+x^≥2mx, n^+y^≥2ny
所以 2mx+2ny≤m^+n^+x^+y^
即 2（mx+ny)≤a+b
所以 mx+ny≤(a+b)/2
则mx +ny 的最大值为(a+b)/2

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