多变量函数求导关于偏导数的一道证明题

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/01 20:27:36
多变量函数求导关于偏导数的一道证明题

多变量函数求导关于偏导数的一道证明题
多变量函数求导关于偏导数的一道证明题

多变量函数求导关于偏导数的一道证明题

把x看成v,w的函数,y看成w,u的函数,z看成u,v的函数,可得
əF/əu=əf/əy·əy/u+əf/əz·əz/əu
əF/əv=əf/əx·əx/əv+əf/əz·əz/əv
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把x看成v,w的函数,y看成w,u的函数,z看成u,v的函数,可得
əF/əu=əf/əy·əy/u+əf/əz·əz/əu
əF/əv=əf/əx·əx/əv+əf/əz·əz/əv
əF/əw=əf/əx·əx/əw+əf/əy·əy/w
由x²=vw,两边对v求导,得2xəx/əv=w,即2əx/əv=w/x
同样对w求导可得2əx/əw=v/x,同理由y²=wu,z²=uv,
可得2əy/əw=u/y,2əy/əu=w/y,2əz/əu=v/z,2əz/əv=u/z
∴uəF/əu=uw/(2y)·əf/əy+uv/(2z)·əf/əz=y/2·əf/əy+z/2·əf/əz
同理vəF/əv=x/2·əf/əx+z/2·əf/əz,wəF/əw=x/2·əf/əx+y/2·əf/əy
∴uəF/əu+vəF/əv+wəF/əw=xəf/əx+yəf/əy+zəf/əz

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