作业帮一道关于函数不动点的问题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 03:47:41
一道关于函数不动点的问题
一道关于函数不动点的问题
一道关于函数不动点的问题
根据不动点理论,得到
F(x0)＝x0,则（3x0+a）/(x0+b)=x0；
简化,x0^2+（b-3）x0-a＝0；
要两点关于原点对称的不动点,则上面的方程看作函数y＝x0^2+（b-3）x0-a,x0自变量,其对称轴x=-（b-3）/2一定要为y轴,即b-3＝0,b＝3,
x0^2＝a＞0；
只要满足a＞0,b＝3,图像就有两个关于原点的对称不动点；
2,这个题目有点不清.我猜测是：A,B两点就是上面的两个不动点；M点也在f（x）上,但跟A B不重合,且M点纵坐标＞3.求点M到AB距离的最小值及取得最小值时的M点坐标.如果题目不是这样,那下面就全错了.～o～
方法1：死算慢慢推理
a＝8,f(x)＝（3x+8）/(x+3）＝3-1/(x+3）；
两个不动点,由x0^2＝a,得到x0＝+√a和-√a,对应的y＝x0；
即AB两点为（√a,√a）（-√a,-√a）,a＝8即（2√2,2√2）（-2√2,-2√2）；
点M（x,y）满足y＝3-1/(x+3）；
设M在AB上的投影点为N,设N（n,n）,易得斜率Kmn＝-1,（因为Kab＝1）；
Kmn＝△y/△x＝(y-n)/(x-n)=-1,n=(x+y)/2；
|MN|^2=(x-n)^2+(y-n)^2＝0.5·（x-y）^2＝[x-3+1/(x+3)]^2,将y＝3-1/(x+3）代入得到的；
根据y＞3,3-1/(x+3）＞3,得到x＜-3,知道x-3+1/(x+3)＜0,求距离则取负跟；
即|MN|＝√0.5·[3-x-1/(3+x)],x＜-3；
|MN|＝√0.5〔(-x-3)+1/(-x-3)+6〕；
求|MN|最小值,即求(-x-3)+1/(-x-3)最小值；
x＜-3,-x＞3,-x-3＞0；
基本不等式r+1/r≥2√（r·1/r）＝2,r＞0；
(-x-3)+1/(-x-3)≥2；当-3-x＝1/(-x-3)时取等号；
|MN|≥√0.5·8＝4√2；
-3-x＝1/(-x-3),x＝-2或者-4；由x＜-3确定x＝-4；
y＝3-1/(x+3）＝4；
当M（-4,4）时取得最小值4√2；
方法2：函数变换法
y＝（3x+8）/(x+3）＝3-1/(x+3）,
化基本函数形式：-（y-3）＝1/(x+3）；这个是由y＝1/x变化而来；
y＝1/x变化为-y＝1/x,y→-y,即是关于X轴翻转；
-y＝1/x再变化为-（y-3）＝1/(x+3）,y→y-3,x→x+3；即是左移3上移3；
画图象很容易得到y＞3是整个函数的一半图像,此时x＜-3；
y＝1/x与直线y＝-x不可能有交点；两次变换后依次是y＝x,y＝x-6；
即y＝x-6与函数y＝3-1/(x+3）不可能有交点,现在只取x＜-3的上半部图像,它与y＝x+b有中特殊的关系；而题目AB斜率正好为1,过（0,0）；
很容易得到M（x,y）就是y＝x+b与y＝3-1/(x+3）（x＜-3）相切时的切点；
即x+b＝3-1/(x+3）只有一个交点,化二次方程,△＝0很容易求得b＝4或8；
b＝4时x＝-2不满足（x＜-3）舍；
b＝8时x＝-4；M（-4,4）
很容易得到M点在AB上的投影点就是原点,这个最小值为4√2；
方法1就是算的太多,但容易想到这个思路,虽然耗时会多一点；
方法2我虽然打了很多字,但很多东西都是在脑海里过一下,实际做题不用那么详细的,计算很少,但是函数的变换法不容易掌握.