欲称1克到40克中任意整数克的质量,天平至少要配置几个砝码?他们各是多少?请说明选配的理由.

欲称1克到40克中任意整数克的质量,天平至少要配置几个砝码?他们各是多少?请说明选配的理由.
欲称1克到40克中任意整数克的质量,天平至少要配置几个砝码?他们各是多少?请说明选配的理由.

欲称1克到40克中任意整数克的质量,天平至少要配置几个砝码?他们各是多少?请说明选配的理由.
最省砝码设置问题 经科学家验证,在天平上用4个砝码就可以称出从1克到40克的全部整克的重量
所需要的砝码是：1、3、9、27克四种规格.例如：被称量物体加 1克砝码与 9克砝码相等时,被称量物体的重量为8克,也就是等于两个砝码的差.
详细的 你可以查找最省砝码设置问题
最省砝码设置问题的数学模型
蒋晓云
桂林师专数学与计算机科学系 广西 桂林 541001
【摘要】通过对砝码的最省设置问题的研究,建立了解决这一类问题的数学模型,并给出了一个有效、简便、操作程序化的求解算法.
【关键词】砝码,数学模型,算法,猜想.
砝码的最省设置问题：用一架天平分别称出1克—n克不同物体的重量,最少需要几个天平砝码?砝码各重多少克?
我们可以把部分砝码当作“物体”,与物品放在一边,天平平衡时,“砝码”一边的砝码重量之和减去“物体”一边的砝码重量之和就是物体的重量.
1 数学实验
我们用枚举法,使用计算机做数学实验.用一架天平“称出”1克至n克的不同物体的重量,最少砝码数k和相应个数砝码的取法m的实验结果列入下表：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
最少砝码数k 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4
砝码取法种数m 1 2 3 1 18 22 26 19 19 9 4 3 1 761 890 880
n 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
最少砝码数k 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
砝码取法种数m 920 906 877 719 712 561 469 415 309 227 205 153 106 88 62 46
n 33 34 35 36 37 38 39 40 41 … 77 … 120 121
最少砝码数k 4 4 4 4 4 4 4 4 5 … 5 … 5 5
砝码取法种数m 36 26 17 14 9 4 3 1 30642 … 8796 … 2 1
设 ,我们归纳发现：
猜想：用一架天平分别称出1克—n克不同物体的重量,如果 ,则最少需要k+1个砝码.对所有的自然数n,砝码可取 .当 时,它是砝码的唯一取法.
2 数学模型
为了叙述的方便,设集合P= , ,记 .
（1）若 或 ,我们称 为P的代数生成元组.
（2）代数生成元组的最小个数称为集合P的代数维数 .具有 个生成元的代数生成元组称为极小代数生成元组.
（3） 是P的极小代数生成元组,对每一个 都可以唯一地表示成： ,（ ）,则称 为P的标准代数生成元组.
由数论中知识,我们有下面与带余除法完全类似的一个正确结论：
引理1：对任意的自然数 ,存在唯一的整数 和 ,使得 （ ）.
命题1：对任意自然数 ,令 （[x]为不超过x的最大整数）,则 是集合P= 的一个代数生成元组.
证明： ,对任意的自然数 ,即 ,可以类似十进制数转换成二进制数的“除2取余法”,我们可以作一系列的“带余除法”,直到商数等于零为止：
……
其中 =-1或0或1（ ）.
从上面式子可得： , （ ）,由此可推出 ,所以 ,从而有 ,即上述的“带余除法”最多做k+1步后商数为零.如果 ,我们可从上面“带余除法”等式推出：
我们已证明：对任意的自然数 , （ 为-1或0或1）；而且容易证明其表示式是唯一的（证明略）.所以 是集合P= 的一个代数生成元组.
记 , ,则 .
命题3：集合 的代数维数为k+1, 是 唯一的极小代数生成元组,也是唯一的标准代数生成元组.
证明：由命题1可知, 有一组代数生成元 ,所以 .
设 , 为 的任意代数生成元组, ,由于 的对称性, 的正项与负项的项数相等,从而 , ,由 ,得 , 从而有 .
设 为 的极小代数生成元组,则
从而 ,所以 ,由此可以推出 ,即互不相同,且 ≠ 时,有 .
（否则 ）.从而有 为 标准代数生成元组,且 = .下面我们将 按 的系数不同分为三类： ,
,则 ,且 ,
①若 ,则 ；②若 ,则 ；③若 ,则 .（这是因为： ,否则 ,也有 ,否则 ).设
,所以 是 最大的 个元素,又因为 是 的最大元素,从而它们不是 的元素；它们也不是 中元素（否则它们每个元素加上 后 是 的元素,而这些元素已不在 中）；所以它们是 中的元素； 应是 中元素； 应是 中元素, 又是 中元素……,由 可以得出, 依大小次序排列可分为 段,每段 个元素,且交替为 、 和 的元素组,从而有 ,从而 是3的幂,即 (i=1,2,…,k, k+1).又 ,所以 (i=1,2,…,k, k+1).从而证明了 是 的唯一的极小元代数生成元组,也是唯一的标准代数生成元组.
推论1：当对任意的自然数 ,集合P= 的算术维数 .
证明：令 ,则 ,因为 , .
综上所述,我们实际上已证明了猜想.在解题的过程中,我们建立了解决这一类问题的数学模型：设集合P= ,则 （其中 ）是P的极小代数生成元组,也是标准代数生成元组.即P中的每一个元素均能唯一地表示成 的代数和（即系数可以为-1或0或1）,并可采有特殊的“除3取余法”来求表达式.当 时, 是P唯一的极小代数生成元组,也是唯一的标准代数生成元组.
3 解释与应用
问题1 用一架天平分别称出1克—40克不同物体的重量,最少需要几个天平砝码?砝码各重多少克?如何进行操作?
取 , ,故砝码只能取1克、3克、9克、27克（唯一的选取方法）.
如果物体重量是22克,我们可以作“带余除法”,用左边的“除法”算式表示,我们得到：
即把27克、3克和1克的砝码放在天平的一边,物品与9克砝码放在天平的另一边,若天平平衡,物体的重量为22克.
问题2：在集合P= 选取极少的几个数,使得这几个数能以加减运算组成另一些数.
,可以选取1、3、9、27（还可能有其它选法）,用1、3、9、27以加减运算组成0—31各数,可用上述特殊的“除3取余法”.
4 问题的拓展
对于砝码的最省设置问题,如果按人们习惯,天平称物品是砝码和物品各一边,天平平衡时,砝码的重量之和就是物体的重量的,那么答案就不一样了：
要用一架天平分别称出1克—n克不同物体的重量,令 （[x]为不超过x的最大整数）,则至少需要k+1个砝码,砝码可取 .当 = 时,它是砝码的唯一取法.
相应的数学模型：设集合P= ,则 （其中 ）是P的极小算术生成元组,也是标准算术生成元组.即P中的每一个元素均能唯一地表示成 的算术和（系数只能是0或者1）,并可采用化十进制为二进制数的 “除2取余法”来求表达式.当 时, 是P唯一的极小算术生成元组,也是唯一的标准算术生成元组.
将有限集合P延伸为自然数集合N,则标准代数生成元组也无限延伸 ,从而数学模型的内容也随之得到扩展. 是自然数集合N的极小代数生成元组,也是标准代数生成元组.即每一个自然数均能唯一地表示成 的代数和,并可采有特殊的“除3取余法”来求表达式.
应该指出：天平砝码问题已不再只是一个简单的物理问题或数学游戏问题,它与很多数学问题有密切的联系,在生活、生产实际中也有较广泛的应用.
参考文献：
[1]杨世明,王雪芹.数学发现的艺术[M] .青岛：青岛海洋大学出版社,1998．
[2] 吕宪军.由一个重要数列谈数学模型的建立[J].小学数学教师,2002,4.
[3] 李卫国.高等数学实验课[M].北京：高等教育出版社,2000.
http://jxy.lszxedu.com/wz/9.doc

1,2,2,5,10,20
6个,这6个数可以组成1-40之间的所有数

需要1，2，4，8，16，32.这几个，我记得这是个智力测验的题，答案就是这，不过如果是这个答案，就可以称道63克了，但这也是个数最少的答案了。