用数学归纳法证明 n∈N*,n^3+5n都能被6整除

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 11:03:47
用数学归纳法证明 n∈N*,n^3+5n都能被6整除

用数学归纳法证明 n∈N*,n^3+5n都能被6整除
用数学归纳法证明 n∈N*,n^3+5n都能被6整除

用数学归纳法证明 n∈N*,n^3+5n都能被6整除

http://zhidao.baidu.com/link?url=PG5x6i6dH-mA5zwuS4biXuCrBb2v7yEdlRBS0vf7gO-pm66QK4sEykESMwQ9FQI_6aL5aUrFfk2qyBmY2vMd8a
当n=1时显然成立
假设n=k时,k^3+5k能被6整除
当n=k+1时,(k+1)^3+5(k+1)
=k^3+3k^2+3k...

全部展开

http://zhidao.baidu.com/link?url=PG5x6i6dH-mA5zwuS4biXuCrBb2v7yEdlRBS0vf7gO-pm66QK4sEykESMwQ9FQI_6aL5aUrFfk2qyBmY2vMd8a
当n=1时显然成立
假设n=k时,k^3+5k能被6整除
当n=k+1时,(k+1)^3+5(k+1)
=k^3+3k^2+3k+1+5k+5
=(k^3+5k)+3k(k+1)+6
因为 k^3+5k是6的倍数, 3k(k+1)是6的倍数
故:(k+1)^3+5(k+1)能被6整除
综上:对一切的正整数n,n^3+5n能被6整除

收起

n³+5n=n(n²+5)n为正整数,n取1,n(n²+5)=6,n取2,n(n²+5)=18
∴n∈N*,n^3+5n都能被6整除

∵1+5=6能被6整除
∴求证若n^3+5n能被6整除,(n+1)^3+5(n+1)能被6整除
(n+1)^3+5(n+1)=n^3+3n^2+8n+6=(n^3+5n)+(3n^2+3n+6)
∵3+3+6能被6整除
∴求证若3n^2+3n+6能被6整除,3(n+1)^2+3(n+1)+6能被6整除
3(n+1)^2+3(n+1)+6=3n^2+9n+12...

全部展开

∵1+5=6能被6整除
∴求证若n^3+5n能被6整除,(n+1)^3+5(n+1)能被6整除
(n+1)^3+5(n+1)=n^3+3n^2+8n+6=(n^3+5n)+(3n^2+3n+6)
∵3+3+6能被6整除
∴求证若3n^2+3n+6能被6整除,3(n+1)^2+3(n+1)+6能被6整除
3(n+1)^2+3(n+1)+6=3n^2+9n+12=(3n^2+3n+6)+(6n+6)能被6整除
故(3n^2+3n+6)能被6整除
故n^3+5n能被6整除

收起