作业帮已知a,b为正实数,且2a+8b-ab=0,求a+b的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 20:44:53
已知a,b为正实数,且2a+8b-ab=0,求a+b的最小值
已知a,b为正实数,且2a+8b-ab=0,求a+b的最小值
已知a,b为正实数,且2a+8b-ab=0,求a+b的最小值
因为a=8b/(b-2) （b不能为2）
所以a+b=b+8b/(b-2)
=b+8+16/(b-2)
=b-2+16/(b-2)+10
>=2根号16+10
>=8+10
=18
所以,a+b的最小值为18
因为2a+8b-ab=0,所以a(b-2)=8b
a=8b/(b-2)
a+b=8b/(b-2) + b
=(8b-16+16)/(b-2)+b
=8+b+16/(b-2)
=10+(b-2)+16/(b-2)
当b≠2时 (b-2)+16/(b-2)≥8
故最小值为10+4=14
2a+8b-ab=0,显然a≠8，否则，2*8+8b-8b=0，即16=0，矛盾。
2a+(8-a)b=0
b=2a/(a-8)，又显然a>8,否则，b<0,与题给矛盾。
设y=a+b，则y=f(a)=a+2a/(a-8)，
变形：y=f(a)=(a+2)+16/(a-8)，定义域为a∈(8,+∞)
f´(a)=1-16/(a-8)²,...
全部展开
2a+8b-ab=0,显然a≠8，否则，2*8+8b-8b=0，即16=0，矛盾。
2a+(8-a)b=0
b=2a/(a-8)，又显然a>8,否则，b<0,与题给矛盾。
设y=a+b，则y=f(a)=a+2a/(a-8)，
变形：y=f(a)=(a+2)+16/(a-8)，定义域为a∈(8,+∞)
f´(a)=1-16/(a-8)²,令f´(a)=0得:a=12为唯一驻点,
f"(a)=32/(a-8)³>0,所以a=12为极小值点，
a=12为开区间(8,+∞)内唯一极值点,所以a=12为最值点,
所以f(a)的最小值为f(12)=12+2+16/(12-8)=18
即 a+b的最小值为18.
收起