作业帮已知正数abc,a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)大于等于8abc [用基本不等式解题] 在这里先谢啦!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 23:31:47
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已知正数abc,a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)大于等于8abc [用基本不等式解题] 在这里先谢啦!
已知正数abc,a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)大于等于8abc [用基本不等式解题] 在这里先谢啦!
已知正数abc,a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)大于等于8abc [用基本不等式解题] 在这里先谢啦!
∵a+b+c=1
∴1-a=b+c,1-b=a+c,1-c=a+b
∵b+c≥2√(bc
a+c≥2√(ac)
a+b≥2√(ab)
将上面3个式子相乘
（b+c)(a+c)(a+b)≥8abc
即:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
(1-a)(1-b)(1-c)
=(b+c)(a+c)(a+b)
=(ab+ac+bc+c^2)(a+b)
=a^2b+a^2c+abc+ac^2+ab^2+abc+b^2c+bc^2
=b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)+a(c^2+b^2)+2abc
≥b*2ac+c*2ab+a*2bc+2abc
=8abc
得证
还有 ...
全部展开
(1-a)(1-b)(1-c)
=(b+c)(a+c)(a+b)
=(ab+ac+bc+c^2)(a+b)
=a^2b+a^2c+abc+ac^2+ab^2+abc+b^2c+bc^2
=b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)+a(c^2+b^2)+2abc
≥b*2ac+c*2ab+a*2bc+2abc
=8abc
得证
还有 ∵a>0,b>0,c>0
∴a+b>2*√a*b
b+c>2*√b*c
a+c>*√a*c
而，1-a = b+c
1-b = a+c
1-c = a+b
∴(1-a)(1-b)(1-c)
= (b+c)(a+c)(a+b)
>=(2*√b*c)*(2*√a*c)*(2*√a*b)
= 8abc
收起
1=a+b+c,带入式中的数字1
求（b+c）（a+c）（a+b）>=8abc
b+c>=2根号下bc
a+c>=2根号下ac
a+b>=2根号下ab
上面的两边都相乘。就得到上式。
a+b+c=1 且a>0,b>0,c>0
所以有：1-a=b+c≥2√bc
同理可得：
1-b=a+c≥2√ac
1-c=a+b≥2√ab
所以有：
(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)≥2√bcX2√acX2√ab
即：
(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc