作业帮若不等式x2+ax+1大于等于零,对一切x属于(0,1/2]成立,则a的最小值是多少
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 20:56:22
![若不等式x2+ax+1大于等于零,对一切x属于(0,1/2]成立,则a的最小值是多少](/uploads/image/z/1615400-8-0.jpg?t=%E8%8B%A5%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8Fx2%2Bax%2B1%E5%A4%A7%E4%BA%8E%E7%AD%89%E4%BA%8E%E9%9B%B6%2C%E5%AF%B9%E4%B8%80%E5%88%87x%E5%B1%9E%E4%BA%8E%280%2C1%2F2%5D%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E5%88%99a%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E6%98%AF%E5%A4%9A%E5%B0%91)
若不等式x2+ax+1大于等于零,对一切x属于(0,1/2]成立,则a的最小值是多少
若不等式x2+ax+1大于等于零,对一切x属于(0,1/2]成立,则a的最小值是多少
若不等式x2+ax+1大于等于零,对一切x属于(0,1/2]成立,则a的最小值是多少
用凑平方法
f(x)=x^2+ax+1=(x+a/2)^2+1-a^2/4
若-a/2属于(0,1/2]时,a属于[-1,0),则f(x)的最小值在-a/2处取得f(x)>=f(-a/2)=1-a^2/4>0恒成立
如果-a/2=0,则f(x)的最小值在a=0处取得,f(0)=1>0恒成立
若-a/2>1/2,那么a=0,因此a>=-5/2
综合以上三种情况,a>=-5/2,因此a的最小值=-5/2
这题的关键在于对f(x)对一切x属于(0,1/2]成立这个条件的理解,可以转化为f(x)在(0,1/2]区间的最小值>=0.求f(x)在区间的最小值一般用凑平方法,凑成f(x)=a(x-b)^2+c的情况下(a>0)时,x在(m,n)区间的最小值分三种情况,一种m
y=x^2+ax+1
该抛物线开口向上，对称轴x=-a/2
由于f(0)=1>0所以对称轴在y轴左边时，不管 x取何值，一定大于0，符合
当抛物线在y轴右边时
当0<-a/2<1/2时，只有y与x轴没交点才能够使得命题成立，于是判别式<0得出-1
于是1/4+a/2+1>=0
-5...
全部展开
y=x^2+ax+1
该抛物线开口向上，对称轴x=-a/2
由于f(0)=1>0所以对称轴在y轴左边时，不管 x取何值，一定大于0，符合
当抛物线在y轴右边时
当0<-a/2<1/2时，只有y与x轴没交点才能够使得命题成立，于是判别式<0得出-1
于是1/4+a/2+1>=0
-5/2<=a<-1
收起
由2x+ax+1≥0 得 ax≥－2x－1
则 a≥－﹙2x+1﹚／x a≥－﹙2+1／x﹚
∵ x∈(0,1/2] ∴ 当x=1／2 时 a≥－4
...
全部展开
由2x+ax+1≥0 得 ax≥－2x－1
则 a≥－﹙2x+1﹚／x a≥－﹙2+1／x﹚
∵ x∈(0,1/2] ∴ 当x=1／2 时 a≥－4
当x无限接近0时 a为无穷小
故a无最小值
收起
-2.5