作业帮如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.△ABC是锐角三角形,且BC＞AC
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 19:46:09
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.△ABC是锐角三角形,且BC＞AC
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.
△ABC是锐角三角形,且BC＞AC＞AB,画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明.
我在知道上看见这个答案：
有三个,以BC为边的矩形的另一边是BC边上的高h1,以AC为边的矩形的另一边是AC边上的高h2,以AB为边的矩形的另一边是AB边上的高h3.由于三角形面积S不变,所以h1=2S/BC,h2=2S/AC,h3=2S/AB.矩形周长分别是
2(2S/BC+BC),2(2S/AC+AC),2(2S/AB+AB),如BC＞AC＞AB＞1,2(2S/AB+AB)最小.如1≥BC＞AC＞AB,2(2S/BC+BC)最小.
为什么如BC＞AC＞AB＞1,2(2S/AB+AB)最小.如1≥BC＞AC＞AB,2(2S/BC+BC)最小?我觉得好像是错的,
此导数非彼倒数！这个应该是微积分里的东西吧！
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.△ABC是锐角三角形,且BC＞AC
有三个,以BC为边的矩形的另一边是BC边上的高h1,以AC为边的矩形的另一边是AC边上的高h2,以AB为边的矩形的另一边是AB边上的高h3.由于三角形面积S不变,所以h1=2S/BC,h2=2S/AC,h3=2S/AB.矩形周长分别是
2(2S/BC+BC),2(2S/AC+AC),2(2S/AB+AB),如BC＞AC＞AB＞1,2(2S/AB+AB)最小.如1≥BC＞AC＞AB,2(2S/BC+BC)最小
你最好多用笔画画,实践出真知.我也是下那个可很长时间!
好难呀，你可以请教你的老师。
你说得对，这个结论确实是错的。结论应该是如BC＞AC＞AB＞√2s（根号2s）时,2(2S/AB+AB)最小。如√2s（根号2s）≥BC＞AC＞AB,2(2S/BC+BC)最小。证明：设AC=x1 AB=x2 则(2S/AC+AC)-(2S/AB+AB)=(x1-x2)(1-2s/x1x2).因为x1-x2＞0而当x2＞√2s时1-2s/x1x2＞0 所以(2S/AC+AC)-(2S/AB+AB)...
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你说得对，这个结论确实是错的。结论应该是如BC＞AC＞AB＞√2s（根号2s）时,2(2S/AB+AB)最小。如√2s（根号2s）≥BC＞AC＞AB,2(2S/BC+BC)最小。证明：设AC=x1 AB=x2 则(2S/AC+AC)-(2S/AB+AB)=(x1-x2)(1-2s/x1x2).因为x1-x2＞0而当x2＞√2s时1-2s/x1x2＞0 所以(2S/AC+AC)-(2S/AB+AB)＞0当x2＜√2s时 1-2s/x1x2＜0，所以(2S/AC+AC)-(2S/AB+AB)＜0。同理，可以证明其他的情况。更一般的，设函数f(x)=x+2s/x,假设x1＞x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-2s/x1x2)，当x1＞x2＞√2s时f(x1)-f(x2)＞0 而当√2s＞x1＞x2＞0时，f(x1)-f(x2)＜0。
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我看了应该是对了的。。
我记得面积和周长是有关系的。。。。
什么关系我忘记了。。好像在高二书上有这个。。。
面积不变的时候。。其底边和高不变。。。得到相似三角形。。。从而让边与边产生了联系。。。从而推到出来的。。
你让我讲恐怕我的表述能力也不行。。
对不住。。
但我看了那个答案应该是对的。。。...
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我看了应该是对了的。。
我记得面积和周长是有关系的。。。。
什么关系我忘记了。。好像在高二书上有这个。。。
面积不变的时候。。其底边和高不变。。。得到相似三角形。。。从而让边与边产生了联系。。。从而推到出来的。。
你让我讲恐怕我的表述能力也不行。。
对不住。。
但我看了那个答案应该是对的。。。
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对边的中间点周长最小！！！
结论是错的
设边长为x,周长为y,则y=2(2S/x + x),则y的导数是
y'=2[(0-2S)/(x×x)+1],令y'=0，此时x=根号2S
所以，当x=根号2S时，y取到最小值 当x>根号2S时，y单调递增 当0
根号2S≥BC＞AC＞AB时，2(2...
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结论是错的
设边长为x,周长为y,则y=2(2S/x + x),则y的导数是
y'=2[(0-2S)/(x×x)+1],令y'=0，此时x=根号2S
所以，当x=根号2S时，y取到最小值 当x>根号2S时，y单调递增 当0
根号2S≥BC＞AC＞AB时，2(2S/BC+BC)最小
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导数就是1除这个数得到就是导数
a=BC>b=AC>c=AB,
S = 0.5ah1 = 0.5bh2.
记
f(x)=2S/x + x, x > 0.
当x > y > 0时,
f(x) - f(y) = 2S/x + x - 2S/y - y = x-y + 2S(y-x)/(xy)
=(x-y)[xy - 2S]/(xy)
xy > 2S时, f(x) - f(y) ...
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a=BC>b=AC>c=AB,
S = 0.5ah1 = 0.5bh2.
记
f(x)=2S/x + x, x > 0.
当x > y > 0时,
f(x) - f(y) = 2S/x + x - 2S/y - y = x-y + 2S(y-x)/(xy)
=(x-y)[xy - 2S]/(xy)
xy > 2S时, f(x) - f(y) > 0.
因，2S = ah1,
而h1 < b【锐角三角形中底边上的高小于邻边，（因高是直角三角形的直角边，邻边是直角三角形的斜边）】
因此，2S = ah1 < ab, f(a) - f(b) > 0, f(a) > f(b).
同理，
2S = bh2,
h2 < c.
2S = bh2 < bc, f(b)-f(c)>0, f(b) > f(c).
这样，a>b>c时，总有 f(a) > f(b) > f(c).
由于f(a),f(b),f(c)分别为边BC,AC,AB所对应的友好矩阵的周长。
因此，周长最短的矩阵是三角形的最短边所对应的友好矩形。【是边AB所对应的友好矩形】
收起
AB,BC,AC分别记为c,a,b,按题设a＞b＞c.
AB上的高记为ha,有ha＝bsinC＝csinB,AB上“友好矩形”周长La＝2（a+ha）.
类似地，hb,hc,Lb.Lc.
La-Lb＝2（a+ha）-2（b+hb）＝2[（a+bsinC）-（b+asinC）]
＝2（a-b）（1-sinC）＞0.∴La＞Lb.
同理Lb-Lc＝2（b-c）（...
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AB,BC,AC分别记为c,a,b,按题设a＞b＞c.
AB上的高记为ha,有ha＝bsinC＝csinB,AB上“友好矩形”周长La＝2（a+ha）.
类似地，hb,hc,Lb.Lc.
La-Lb＝2（a+ha）-2（b+hb）＝2[（a+bsinC）-（b+asinC）]
＝2（a-b）（1-sinC）＞0.∴La＞Lb.
同理Lb-Lc＝2（b-c）（1-sinA）＞0,Lb＞Lc.
结论：AB（最短边）上的“友好矩形”周长最小。
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有三个,以BC为边的矩形的另一边是BC边上的高h1,以AC为边的矩形的另一边是AC边上的高h2,以AB为边的矩形的另一边是AB边上的高h3.由于三角形面积S不变,所以h1=2S/BC,h2=2S/AC,h3=2S/AB.矩形周长分别是
2(2S/BC+BC),2(2S/AC+AC),2(2S/AB+AB),如BC＞AC＞AB＞1,2(2S/AB+AB)最小.如1≥BC＞AC＞AB,2(2...
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有三个,以BC为边的矩形的另一边是BC边上的高h1,以AC为边的矩形的另一边是AC边上的高h2,以AB为边的矩形的另一边是AB边上的高h3.由于三角形面积S不变,所以h1=2S/BC,h2=2S/AC,h3=2S/AB.矩形周长分别是
2(2S/BC+BC),2(2S/AC+AC),2(2S/AB+AB),如BC＞AC＞AB＞1,2(2S/AB+AB)最小.如1≥BC＞AC＞AB,2(2S/BC+BC)最小
你最好多用笔画画，实践出真知。我也是下那个可很长时间！我看了应该是对了的。。
我记得面积和周长是有关系的。。。。
什么关系我忘记了。。好像在高二书上有这个。。。
面积不变的时候。。其底边和高不变。。。得到相似三角形。。。从而让边与边产生了联系。。。从而推到出来的。。
你让我讲恐怕我的表述能力也不行。。
对不住。。
但我看了那个答案应该是对的。。。 你说得对，这个结论确实是错的。结论应该是如BC＞AC＞AB＞√2s（根号2s）时,2(2S/AB+AB)最小。如√2s（根号2s）≥BC＞AC＞AB,2(2S/BC+BC)最小。证明：设AC=x1 AB=x2 则(2S/AC+AC)-(2S/AB+AB)=(x1-x2)(1-2s/x1x2).因为x1-x2＞0而当x2＞√2s时1-2s/x1x2＞0 所以(2S/AC+AC)-(2S/AB+AB)＞0当x2＜√2s时 1-2s/x1x2＜0，所以(2S/AC+AC)-(2S/AB+AB)＜0。同理，可以证明其他的情况。更一般的，设函数f(x)=x+2s/x,假设x1＞x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-2s/x1x2)，当x1＞x2＞√2s时f(x1)-f(x2)＞0 而当√2s＞x1＞x2＞0时，f(x1)-f(x2)＜0。 a=BC>b=AC>c=AB,
S = 0.5ah1 = 0.5bh2.
记
f(x)=2S/x + x, x > 0.
当x > y > 0时,
f(x) - f(y) = 2S/x + x - 2S/y - y = x-y + 2S(y-x)/(xy)
=(x-y)[xy - 2S]/(xy)
xy > 2S时, f(x) - f(y) > 0.
因，2S = ah1,
而h1 < b【锐角三角形中底边上的高小于邻边，（因高是直角三角形的直角边，邻边是直角三角形的斜边）】
因此，2S = ah1 < ab, f(a) - f(b) > 0, f(a) > f(b).
同理，
2S = bh2,
h2 < c.
2S = bh2 < bc, f(b)-f(c)>0, f(b) > f(c).
这样，a>b>c时，总有 f(a) > f(b) > f(c).
由于f(a),f(b),f(c)分别为边BC,AC,AB所对应的友好矩阵的周长。
因此，周长最短的矩阵是三角形的最短边所对应的友好矩形。【是边AB所对应的友好矩形】AB,BC,AC分别记为c,a,b,按题设a＞b＞c.
AB上的高记为ha,有ha＝bsinC＝csinB,AB上“友好矩形”周长La＝2（a+ha）.
类似地，hb,hc,Lb.Lc.
La-Lb＝2（a+ha）-2（b+hb）＝2[（a+bsinC）-（b+asinC）]
＝2（a-b）（1-sinC）＞0.∴La＞Lb.
同理Lb-Lc＝2（b-c）（1-sinA）＞0,Lb＞Lc.
结论：AB（最短边）上的“友好矩形”周长最小。
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大家的答案你一个个看很累的，总共有3个友好矩形，这是确定了的。现在就是要找出这三个里面周长最小的，矩形的周长是长+宽 再乘以2，周长最小则长加宽最小，而长和宽分别对应着三角形的边和这条边上的高，显然三角形的面积是一定的，那么也就是说长和宽的乘积是一定的。问题转化成两数乘积一定，求什么时候他们的和最小。有一个不等式里的定理：X+Y>=2?(X*Y).？表示对括号里的式子开方，（根号不好输入 只能这样...
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大家的答案你一个个看很累的，总共有3个友好矩形，这是确定了的。现在就是要找出这三个里面周长最小的，矩形的周长是长+宽 再乘以2，周长最小则长加宽最小，而长和宽分别对应着三角形的边和这条边上的高，显然三角形的面积是一定的，那么也就是说长和宽的乘积是一定的。问题转化成两数乘积一定，求什么时候他们的和最小。有一个不等式里的定理：X+Y>=2?(X*Y).？表示对括号里的式子开方，（根号不好输入 只能这样了） 等号是在X=Y时取得的，另外 X与Y越接近X+Y的值就越小，因此原题中就是找什么时候长和宽最接近，显然当一个取值过大时另一个就过小，一个过小另一个就过大，因此要找一个比较中庸的值，而BC>AC>AB，因此AC对应的友好矩形周长最小。原问题就得到了解决。
上面的不等式 证明蛮简单的，两边平方再看，相信你能理解。
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a=BC>b=AC>c=AB, S = 0.5ah1 = 0.5bh2. 记 f(x)=2S/x + x, x > 0. 当x > y > 0时, f(x) - f(y) = 2S/x + x - 2S/y - y = x-y + 2S(y-x)/(xy) =(x-y)[xy - 2S]/(xy) xy > 2S时, f(x) - f(y) > 0. 因...
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a=BC>b=AC>c=AB, S = 0.5ah1 = 0.5bh2. 记 f(x)=2S/x + x, x > 0. 当x > y > 0时, f(x) - f(y) = 2S/x + x - 2S/y - y = x-y + 2S(y-x)/(xy) =(x-y)[xy - 2S]/(xy) xy > 2S时, f(x) - f(y) > 0. 因，2S = ah1, 而h1 < b【锐角三角形中底边上的高小于邻边，（因高是直角三角形的直角边，邻边是直角三角形的斜边）】 因此，2S = ah1 < ab, f(a) - f(b) > 0, f(a) > f(b). 同理， 2S = bh2, h2 < c. 2S = bh2 < bc, f(b)-f(c)>0, f(b) > f(c). 这样，a>b>c时，总有 f(a) > f(b) > f(c). 由于f(a),f(b),f(c)分别为边BC,AC,AB所对应的友好矩阵的周长。 因此，周长最短的矩阵是三角形的最短边所对应的友好矩形。【是边AB所对应的友好矩形】 BC＞AC＞AB＞√2s（根号2s）时,2(2S/AB+AB)最小。如√2s（根号2s）≥BC＞AC＞AB,2(2S/BC+BC)最小。证明：设AC=x1 AB=x2 则(2S/AC+AC)-(2S/AB+AB)=(x1-x2)(1-2s/x1x2).因为x1-x2＞0而当x2＞√2s时1-2s/x1x2＞0 所以(2S/AC+AC)-(2S/AB+AB)＞0当x2＜√2s时 1-2s/x1x2＜0，所以(2S/AC+AC)-(2S/AB+AB)＜0。同理，可以证明其他的情况。更一般的，设函数f(x)=x+2s/x,假设x1＞x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-2s/x1x2)，当x1＞x2＞√2s时f(x1)-f(x2)＞0 而当√2s＞x1＞x2＞0时，f(x1)-f(x2)＜0。
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证明如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则
L1=2S/a+2a，L2=2S/b+2b，L3=2S/c+2c
∴ L1- L2=(2S/a+2a)-(2S/b+2b)=2[a-b-S(a-b)/ab]=2(a-b)(1-S/ab)，
而 ab>S...
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证明如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则
L1=2S/a+2a，L2=2S/b+2b，L3=2S/c+2c
∴ L1- L2=(2S/a+2a)-(2S/b+2b)=2[a-b-S(a-b)/ab]=2(a-b)(1-S/ab)，
而 ab>S，a>b，∴ L1- L2>0，即L1> L2 .
同理可得，L2> L3 ，∴ L3最小，即矩形ABHK的周长最小.
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