高数问题 关于格林公式 (高手进）第二型曲线积分中令p=-（x+y）/(x2+Y2) Q=（x-y）/(x2+y2) 那可求Pdx+Qdy的原函数u（x,y） 在直角坐标中,令A=（0,1）B=（0,-1）则可找一个不包含原点但包含A,B的单

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 14:22:17
高数问题 关于格林公式 (高手进）第二型曲线积分中令p=-（x+y）/(x2+Y2) Q=（x-y）/(x2+y2) 那可求Pdx+Qdy的原函数u（x,y） 在直角坐标中,令A=（0,1）B=（0,-1）则可找一个不包含原点但包含A,B的单

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高数问题 关于格林公式 (高手进）
第二型曲线积分中令p=-（x+y）/(x2+Y2)
Q=（x-y）/(x2+y2) 那可求Pdx+Qdy的原函数u（x,y） 在直角坐标中,令A=（0,1）B=（0,-1）则可找一个不包含原点但包含A,B的单连通区域,那按照定理积分值（从a积到b）就为出末值得差,结果为零.但真值为3.1415926.
为什么?
请真正的高手解答
在选定的单连通区域中能找到函数u（x，y），使Pdx+Qdy为其全微分，那此第二型曲线积分的值不就只与初末值有关吗？（北大版高数下册84页） 不就与路径无关了嘛

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关键是这个第二型曲线积分中的积分曲线L是什么,这是需要考虑的,求出的值是和L有关系的.
估计L应该是分段光滑、不经过原点的连续封闭曲线（且无重点,取逆时针方向?）,是吗?
看一下同济5版《高等数学》下册P146.例4,那就是一种情况下得0,另一种情况下得2*3.14的例子,应该是和你的问题一样的.
刚才看到问题补充,回答如下：
①我原先的回答是有效的.
②你的注意集中在了“可找一个不包含原点但包含A,B的单连通区域,那就结果为零”还有“在选定的单连通区域中能找到函数u（x,y）,那此第二型曲线积分的值不就路径无关了嘛”.
这里有个问题：“可找一个”以及“在选定的”都有一层含义,即“存在特定的(区域)”.那么,原题中的那个“第二型曲线积分中的积分曲线L是什么”?从而,L所围的区域是不是在你所找的那个区域中呢?如果是,那就象你说的,结果为零；如果不是,当然不能确定结果为零啦.
③我们的讨论一直是从概念的方面进行的,我手边没有北大版高数,但可以肯定,哪一本高数讲的都是一个理,如果有具体题目,知道“这个第二型曲线积分中的积分曲线L是什么”,可能更容易说清楚.
④只好再从概念的方面说,你的注意集中在了几个等价条件上,但还要注意几个等价条件成立的大前提条件啊,就是,“G是单连通区域,积分曲线L在G内,P、Q在G内有一阶连续偏导数”.再看看你提到的定理必是这样的.

晕哦 与路径无关的格林公式是有区域之分的
Pdx+Qdy=0才表示与路径无关
虽然说单联通区域都能应用格林公式 但方向性肯定不能少
还有 你那个“第二型曲线积分的值不就只与初末值有关吗”我觉得是你自己的主观臆断

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