作业帮))是否存在常数a,b,c使等式1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)+...+n(n^2-n^2)=an^4+bn^2+c对一切正整数N都成立?证明你的结论.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 17:31:03
))是否存在常数a,b,c使等式1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)+...+n(n^2-n^2)=an^4+bn^2+c对一切正整数N都成立?证明你的结论.
))是否存在常数a,b,c
使等式1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)+...+n(n^2-n^2)=an^4+bn^2+c对一切正整数N都成立?证明你的结论.
))是否存在常数a,b,c使等式1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)+...+n(n^2-n^2)=an^4+bn^2+c对一切正整数N都成立?证明你的结论.
存在
令n=1,1*(1^2-1^2)=0=a+b+c
n=2,1*(2^2-1^2)+2*(2^2-2^2)=3=16a+4b+c
n=3,1*(3^2-1^2)+2*(3^2-2^2)+3*(3^2-3^2)=18=81a+9b+c
联立,解得a=1/4,b=-1/4,c=0
证明：a=1/4,b=-1/4,c=0
1> n=1时,1*(1^2-1^2)=0=a+b+c成立
2> 假设n=m(m>=1,m∈N)时等式1*(m^2-1^2)+2*(m^2-2^2)+...+m(m^2-m^2)=1/4m^4-1/4m^2成立
当n=m+1时,等式右边=1/4（m+1)^4-1/4(m+1)^2=1/4m^4-1/4m^2+m^3+3/2m^2+1/2m,
等式左边=1*[(m+1)^2-1^2]+2*[(m+1)^2-2^2]+...+m[(m+1)^2-m^2]+(m+1)*[(m+1)^2-(m+1)^2]=1*[(m^2+2m+1)-1^2]+2*[(m^2+2m+1)-2^2]+...+m*[(m^2+2m+1)-m^2]=1*(m^2-1^2)+2*(m^2-2^2)+...+m(m^2-m^2)+1*2m+2*2m+3*2m+...+m*2m+1+2+3+...+m=1*(m^2-1^2)+2*(m^2-2^2)+...+m(m^2-m^2)+2m*(1+m)m/2+(1+m)m/2=1*(m^2-1^2)+2*(m^2-2^2)+...+m(m^2-m^2)+m^3+3/2*m^2+m/2=1/4m^4-1/4m^2+m^3+3/2*m^2+m/2
所以右边=左边
所以当n=m+1时等式也成立
综上所述,n为正整数时等式成立,证毕