在一个圆内 任取2点连线长度大于半径的概率是多少不是圆上 是圆内!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/04 19:46:59
在一个圆内 任取2点连线长度大于半径的概率是多少不是圆上 是圆内!
在一个圆内 任取2点连线长度大于半径的概率是多少
不是圆上 是圆内!
在一个圆内 任取2点连线长度大于半径的概率是多少不是圆上 是圆内!
从A点到圆心的连线两侧圆心角不大于60°所对应的弧上任意一点,与A链接的弦长都不超过半径.
符合条件的圆心角60°×2,一周360°
所以,概率为60°×2÷360°=1/3
三分之二
如图所示,不妨设圆半径为1(按单位圆考虑),圆心为O,圆内任取一点A,设|AO|=r。以A为圆心单位长度为半径另外做一个圆。两圆相交部分记为S_∩,圆O在圆A外面的区域记为S1。 在圆内另外取一点B(未在图上标出),欲使|AB|>R=1,需且只需点B落在区域S1内。 设|AO|=r的概率密度f1(当A在以O为圆心r为半径的一个小圆上时,都有|AO|=r,但概率为0,概率密度为f1=2πr/(πR^2)=2r,R=1)。 现求B点落在区域S1内的概率(等价于求S1的面积,此处把区域S1的面积仍旧记为S1)P2。 设圆A与圆O交于C、D两点,∠COD=2θ,其中cos θ=(r/2)/R=r/2,θ=arccos(r/2)。 两圆相交部分的面积可以看成两个扇形(分别以O、A为中心,张角2θ)的面积之和减去两个扇形重叠部分(一个菱形)的面积。 一个张角2θ的扇形面积为:2θ/(2π)*πR^2=θ; 菱形的面积为对角线长乘积的一般:r*2√[R^2-(r/2)^2]/2=r*√[4-r^2]/2, 故S_∩的面积为:2*θ-r*√[4-r^2]/2; S1的面积为:πR^2-[2*θ-r*√[4-r^2]/2]=π-2θ+r*√[4-r^2]/2; 点B落在区域S1的概率为:P2=S1/(πR^2)=1-2θ/π+r*√[4-r^2]/(2π); 故两点距离大于半径的概率为: P=∫P2*f1*dr (r=0 .. 1) =∫[1-2θ/π+r*√[4-r^2]/(2π)]*2r*dr (r=0 .. 1) =∫[1-2*arccos(r/2)/π+r*√[4-r^2]/(2π)]*2r*dr (r=0 .. 1)(θ=arccos(r/2)) =∫{2*r-4*r*arccos(r/2)/π+r^2*√[4-r^2]/π}*dr (r=0 .. 1) 通过数值积分算出结果为0.4134966716。 (在mpale中计算的命令为:evalf(Int(2*r-4*r*arccos((1/2)*r)/Pi+r^2*sqrt(4-r^2)/Pi, r = 0 .. 1))) 直接对被积函数积分的结果为:r^2-(4*((1/2)*r^2*arccos((1/2)*r)-(1/2)*r*sqrt(1-(1/4)*r^2)+arcsin((1/2)*r)))/Pi+(-(1/4)*r*(4-r^2)^(3/2)+(1/2)*r*sqrt(4-r^2)+2*arcsin((1/2)*r))/Pi。
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