作业帮已知:如下图,圆内接△ABC ,AB=AC,点P是弧BC上任意一点,连结PB,PC.求证PA2=PB*PC+AB2.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 07:26:53
已知:如下图,圆内接△ABC ,AB=AC,点P是弧BC上任意一点,连结PB,PC.求证PA2=PB*PC+AB2.
已知:如下图,圆内接△ABC ,AB=AC,点P是弧BC上任意一点,连结PB,PC.求证
PA2=PB*PC+AB2.
已知:如下图,圆内接△ABC ,AB=AC,点P是弧BC上任意一点,连结PB,PC.求证PA2=PB*PC+AB2.
证明：
因为AB=AC
所以∠APB=∠APC,
因为PC所对的圆周角为∠PAC和∠PBC
所以∠PAC=∠BPC
所以△PAC∽△PBD
所以PA/PB=PC/PD,
即PB*PC=PA*PD
所以PA^2-PB*PC=PA^2-PA*PD=PA*(PA-PD)=PA*AD,
因为AB=AC
所以∠APC=∠ACB
又∠CAP为公共角
所以△APC∽△ACD
所以AP/AC=AC/AD
即AC^2=AP*AD,
又PA^2-PB*PC=PA*PD
所以PA^2-PB*PC=AC^2
PA2和AB2是什么意思？
分析：由已知我们分析待证结论中的边对应的线段，并将其归结到相应的三角形中，我们要证明结论，可以证明相应的三角形相似，由已知条件我们不难证明，△ABP∽△ADB且△BPD∽△APC根据相似三角形对应边成比例，及已知中线段之间的等量关系，我们不难得到结论． 证明：在△ABP和△ADB中， ∠BAP=∠DAB为公用角， 又∠APB=∠ACB=∠ABD=60° △ABP∽△ADB， AB²=PA•AD（1） 同理可证△BPD∽△APC， PB /PD =PA /PC ， ∴PB•PC=PA•PD（2） （1）+（2），得 AB²+PB•PC=PA（AD+PD）=PA²， ∴PA²=AB²+PB•PC． 
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∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
又∠ACB=∠APB，∠ABC=∠APC，∴∠ABC=∠APB=∠APB=∠ACB，
又∠BAD=∠BAP，
∴ΔABD∽ΔAPB，∴AB/AD=PA/AB，
∴AB^2=AD*PA，……①
∵∠APB=∠ACD=∠APC，∠PAC=∠PBC，
∴ΔAPC∽ΔBPD，∴PA/PB=PC/...
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∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
又∠ACB=∠APB，∠ABC=∠APC，∴∠ABC=∠APB=∠APB=∠ACB，
又∠BAD=∠BAP，
∴ΔABD∽ΔAPB，∴AB/AD=PA/AB，
∴AB^2=AD*PA，……①
∵∠APB=∠ACD=∠APC，∠PAC=∠PBC，
∴ΔAPC∽ΔBPD，∴PA/PB=PC/PD，
∴PB*PC=PA*PD，……②
①+②得：AB^2+PB*PC=PA(AD+PD)=PA^2。
即PA^2=AB^2+PB*PC。
收起
AB=AC
∠ABC=∠ACB=∠APB=∠APC
∠DAB=∠BAP
△DAB∽△BAP
AD：AB=AB：AP
AB^2=AD*AP
∠APB=∠APC，
∠PBD=∠PAC，
△PBD∽△PAC
PB：PD=PA：PC
PB*PC=PA*PD
AB^2+PB*PC=AD*AP+PA*PD=AP^2